B1 | Studijní materiály

1. Určete maximální deﬁníční obor funkce $f( x) =\sqrt {|x|-1}$ :

a) $x\in ( -\infty ; -1) \cup (1;\infty )$	b) $x\in\langle-1;1\rangle$	c) $x\in(-1;1)$
d) $x\in ( -\infty ; -1) \cup \langle 1;\infty )$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\|x\|-1\ge0$ $\|x\|\ge1$ $x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle1;\infty)$ Správná odpověď je e).

2. Určette všechna $x\in\mathbb R$ , pro která funkce $f(x)=x^2+x-1$ splňuje rovnost $f(x)=f(x+1)$ :

$x\in\mathbb R$

$x=0$

$x=1$

$x=-1$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$x^2+x-1=(x+1)^2+(x+1)-1$ $x^2+x=x^2+2x+1+x+1$ $2x=-2$ $x=-1$ Správná odpověď je d)

3. Upravte výraz: $\left[ \dfrac {1} {a+1}-\dfrac {2} {a-1}+\dfrac {1} {a}\right] :\dfrac {\left( a+1\right) ^{2}} {a^{2}-1}$ ; $a\ne\pm1$ , $a\ne0$

$\dfrac {1} {-a-1}$

$\dfrac {1} {a+1}$

$-(a+1)$

$a+1$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left[ \dfrac {1} {a+1}-\dfrac {2} {a-1}+\dfrac {1} {a}\right] :\dfrac {\left( a+1\right) ^{2}} {a^{2}-1}=\dfrac{a(a-1)-2a(a+1)+(a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)a}\cdot\dfrac{a^2-1}{(a+1)^2}=$ $=\dfrac{a^2-a-2a^2-2a+a^2-1}{a(a+1)^2}=-\dfrac{3a+1}{a(a+1)^2}$ Správná odpověď je e)

4. Řešte rovnici pro $x\in\mathbb R$ : $\sqrt{3x+4}=x+1$ .

$x=0$

$x=3$

$x\in\{-1;3\}$

$x=-1$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Pro $x\ge-1$ : $3x+4=x^2+2x+1$ $x^2-x-3=0$ $x=\dfrac{1+\sqrt{13}}2$ Správná odpověď je e).

5. Průsečík funkcí $f(x)=7^{x+1}-19$ a $g(x)=7^x+23$ je bod:

$[1;1]$

$[1;30]$

$[6;19]$

$[2;72]$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$7^{x+1}-19=7^x+23$ $7\cdot7^x-7^x=23+19$ $6\cdot7^x=42$ $7^x=7$ $x=1$ $f(1)=7^2-19=30$ Správná odpověď je b).

6. Vypočítejte $\log_5(\log_232)$ :

a) 25

b) 5

c) 1

d) 2

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_5(\log_232)=\log_55=1$ Správná odpověď je c).

7. Počet všech řešení rovnice $2\sin\left( 4x+\dfrac {\pi } {3}\right) =-\sqrt {3}$ je v intervalu $\left\langle0;\dfrac{3\pi}2\right\rangle$

a) 4

b) 2

c) 6

d) 8

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$2\sin\left( 4x+\dfrac {\pi } {3}\right) =-\sqrt {3}$ $\sin\left( 4x+\dfrac {\pi } {3}\right) =-\dfrac{\sqrt3}2$ $4x+\dfrac\pi3=\dfrac{4\pi}3+2k\pi\qquad \vee\qquad 4x+\dfrac\pi3=\dfrac{5\pi}3+2k\pi$ $x_1=\dfrac\pi4+k\dfrac\pi2\qquad \vee\qquad x_2=\dfrac\pi3+k\dfrac\pi4$ V daném intervalu leží kořeny jen pro hodnoty $k\in\{0;1;2\}$ Správná odpověď je c).

8. Řešte rovnici $x^2+2x+2=0$ v komplexním oboru:

$x_{1,2}=-1\pm i$

$x_{1,2}=1\mp i$

$x_{1,2}=\pm i$

$x_{1,2}=\pm1$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$x^2+2x+1=-1$ $(x+1)^2=i^2$ $x_{1,2}=-1\pm i$ Správná odpověď je a).

9. Určete rovnici přímky $p$ , která prochází bodem $\mathsf A$ a je kolmá na přímku $q$ . Přímka $q$ prochází body $A[1;-1]$ a $B[-2;3]$ .

$3x-4y+7=0$

$3x-4y-7=0$

$3x+4y+7=0$

$4x+3y+7=0$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\overrightarrow{AB}=(-3;4)=\vec{n}_p$ $\Rightarrow \ p:-3(x-1)+4(y+1)=0$ $p:-3x+3+4y+4=0$ $p:3x-4y-7=0$ Správná odpověď je b).

10. Určete počet kombinací 25. třídy z 27 prvků.

${27\choose3}$

$350$

$352$

$353$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
${27\choose25}={27\choose2}=\dfrac{27\cdot 26}{2}=351$ Správná odpověď je e).

11. Je dána aritmetická posloupnost, pro kterou platí $a_1 + a_5 = -8$ , $a_2 + a_6 = -4$ . Najděte $a_3$

$a_3=-4$

$a_3=4$

$a_3=-2$

$a_3=2$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$a_1+a_5=a_1+a_1+4d=2a_1+4d=-8$ $a_1+2d=a_3=-4$ Správná odpověď je a).

12. Rovnice $(a - 1)x^2 + 2(a + 1)x + a - 2 = 0$ s neznámou $x\in\mathbb R$ a reálným parametrem $a$ má pouze 1 reálný kořen právě pro všechna $a \in \mathbb R$ , pro která platí:

a) $a=1$	b) $a=-\dfrac15$	c) $a=-\dfrac15\ \vee\ a=1$
d) $a=\dfrac15\ \vee\ a=1$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
I: $a=1\ \Rightarrow\$ $4x-1=0$ vyhovuje. II: $a\ne1\ \Rightarrow$ $\dfrac{D}{4}=(a+1)^2-(a-1)(a-2)=0$ $a^2+2a+1-a^2+3a-2=0$ $5a-1=0$ $a=\dfrac15$ Správná odpověď je c).

13. Je dáno komplexní číslo $z = 1 + i$ . $z^6$ je rovno:

a) $2^3 \left(\cos \dfrac{3\pi}2 - i \sin \dfrac{3\pi}2\right)$	b) $8i$	c) $-8i$
d) $\cos \dfrac{3\pi}2 - i\sin\dfrac{3\pi}2$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$(1+i)^6=[(1+i)^2]^3=(1+2i-1)^3=8i^3=-8i$ Správná odpověď je c).

14. Určete průsečík kuželosečky $x^2 - y^2 = 1$ a přímky $y = x-2$ .

$\left[\dfrac54;-\dfrac34\right]$

$[2;1]$

$[-1;2]$

$\left[\dfrac34;\dfrac54\right]$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\begin{cases}x^2-y^2=1\\y=x-2\end{cases}\ \Rightarrow \ x^2-(x-2)^2=1$ $x^2-x^2+4x-4=1$ $4x=5$ $x=\dfrac54$ $y=\dfrac45-2=-\dfrac34$ Správná odpověď je a).

15. Vyřešte rovnici pro $n \in \mathbb N_0$ : $\displaystyle {n \choose2}+{n - 1\choose2} = 16$

$n = 3$

$n = 4$

$n = 5$

$n = 6$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Podmínky: $n-1\ge2\ \Rightarrow\ n\ge3$ $\dfrac{n(n-1)}{2}+\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}=16$ $\dfrac{(n-1)(2n-2)}{2}=16$ $(n-1)^2=16$ $n-1=4$ $n=5$ Správná odpověď je c).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář