A0 | Studijní materiály

1. Zlomek $\dfrac {\sqrt {\sqrt[3]{2}}\cdot\sqrt {2}} {\sqrt[3]{2^{2}}}$ je roven číslu:

$\sqrt2$

$\sqrt[3]2$

$\sqrt[6]2$

d) 1

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac {\sqrt {\sqrt[3]{2}}\cdot\sqrt {2}} {\sqrt[3]{2^{2}}}=\dfrac{2^{\frac16}\cdot2^{\frac12}}{2^{\frac23}}=2^{\frac16+\frac12-\frac23}=2^0=1$ Správná odpověď je d).

2. Výraz $\log _{2}\sqrt {2}-\log _{2}\sqrt[4]{2^{3}}+\log _{2}\sqrt[4]{2^5}$ je roven číslu:

$0$

$1$

$-1$

$\dfrac12$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_22^{\frac12}-\log_22^{\frac34}+\log_22^{\frac54}=\dfrac12-\dfrac34+\dfrac54=1$ Správná odpověď je b).

3. Všechna reálná řešení rovnice $\left( \dfrac {1} {2}\right) ^{x-1}=4$ náleží intervalu:

$(-4; -3)$

$\langle-3;1)$

$\langle-1;2)$

$\langle2,4)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left(\dfrac12\right)^{x-1}=\left(\dfrac12\right)^{-2}$ $x-1=-2$ $x=-1$ Správná opdpověď je c).

4. Číslo $\log_4 32$ je rovno číslu:

$\dfrac32$

$\dfrac52$

$\dfrac25$

$\dfrac33$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_432=\dfrac{\log_232}{\log_24}=\dfrac52$ Správná odpověď je b).

5. V arìtmetìcké posloupnosti je dán $n$ -tý člen $a_{n}=\dfrac {6n+5} {7}$ . Člen $a_{n+1}$ je:

$\dfrac {6n+8} {7}$

$\dfrac {6n+9} {7}$

$\dfrac {6n+10} {7}$

$\dfrac {6n+11} {7}$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$a_{n+1}=\dfrac{6(n+1)+5}7=\dfrac{6n+11}7$ Správná odpověď je d).

6. Číslo $\sin \dfrac {25\pi } {6}-\cos \dfrac {13\pi } {3}$ je rovno číslu:

$\dfrac {\sqrt {3}-1} {2}$

$\dfrac {\sqrt {3}} {2}$

$\dfrac {1} {2}$

$\dfrac {\sqrt {3}+1} {2}$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\sin \dfrac {25\pi } {6}-\cos \dfrac {13\pi } {3}=\sin \dfrac {\pi } {6}-\cos \dfrac {\pi } {3}=\dfrac12-\dfrac12=0$ Správná opdpověď je e).

7. Maximálnírn deﬁničním oborem reálné funkce $f(x) = \sqrt{1 - \log_4x}$ jedné reálné proměnné je množina:

$\langle1;4)$

$\langle1;4\rangle$

$(0;4\rangle$

$(0;4)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\begin{cases}x>0\\1-\log_4x\ge0\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x>0\\\log_4x\le1=\log_44\end{cases}\ \Rightarrow \ \begin{cases}x>0\\x\le4\end{cases}$ Správná odpověď je c).

8. Všechna reálná rešení rovnice $2^{x+1}+2^{x}-3=0$ náleží intervalu

$\langle-4;-2)$

$\langle-2;0)$

$\langle0;2)$

$\langle2;4)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$2^{x+1}+2^{x}-3=0$ $2^x(2^1+1)=3$ $2^x=1$ $x=0$ Správná odpověď je c).

9. Počet všech kořenů rovnice $\sin \left( x+\dfrac {\pi } {6}\right) =\dfrac {\pi } {2}$ v intervalu $\langle0;2\pi\rangle$ je roven číslu:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože $\dfrac\pi2>1\quad$ rovnice nemá řešení. Správná odpověď je e).

10. Absolutní hodnota komplexního čísla $z = (1 + 2i)(3 - 2i)$ je reálné číslo, které je prvkem intervalu:

$\langle0;4)$

$\langle4;8)$

$\langle8;12)$

$\langle12;14)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\|(1+2i)(3-2i)\|=\|1+2i\|\cdot\|3-2i\|=\sqrt{1+4}\cdot \sqrt{9+4}=\sqrt{65}$ $\sqrt{64}<\sqrt{65}<\sqrt{81}$ $8<\sqrt{65}<9$ Správná odpověď je c).

11. Počet všech reálných řešení goniometrické rovnice $2\cos^2 x = \cos x$ v intervalu $\langle0; 2\pi\rangle$ je roven číslu:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$2\cos^2 x-\cos x=0$ $\cos x(2\cos x-1)=0$ $\cos x=0\qquad\vee\qquad\cos x=\dfrac12$ První rovnice má v daném intervalu 2 řešení. Druhá rovnice také 2 řešení. Správná odpověď je d).

12. Všechna reálná řešení rovnice $2^{\log_{\frac12}x}=\dfrac {1} {4}$ náleží intervalu:

$(0;1)$

$\langle1;3)$

$\langle3;5)$

$\langle5;7)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$2^{\log_{\frac12}x}=\dfrac14=2^{-2}$ $\log_{\frac12}x=-2$ $x=\left(\dfrac12\right)^{-2}=4$ Správná odpověď je c).

13. Uvažujme reálnou funkci $f$ jedné reálné proměnné deﬁnovanou předpisem $f(x)=x^2-3x$ . Množina všech reálných čísel $a$ , pro která platí $f\left( a\right) -f\left( a-2\right) < 10$ je rovna množině:

$(-\infty;5)$

$(5;\infty)$

$(-5;\infty)$

$(-\infty;-5)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$a^2-3a-(a-2)^2+3(a-2)<10$ $a^2-3a-a^2+4a-4+3a-6<10$ $4a<20$ $a<5$ Správná odpověď je a).

14. Goniometrický tvar komplexního čísla $z=\dfrac {4-3i} {7+i}$ lze napsat takto:

a) $z=\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {\pi } {4}+i\sin \dfrac {\pi } {4}\right)$	b) $z=\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {3\pi } {4}+i\sin \dfrac {3\pi } {4}\right)$
c) $z=\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {5\pi } {4}+i\sin \dfrac {5\pi } {4}\right)$
d) $z=\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {7\pi } {4}+i\sin \dfrac {7\pi } {4}\right)$	e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\frac{4-3i}{7+i}\cdot \frac{7-i}{7-i}=\frac{28-21i-4i-3}{49+1}=\frac{25-25i}{50}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=$ $=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}i\right)=\frac{\sqrt2}{2}\left(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4}\right)$ Správná odpověď je d).

15. Uvažujme exponenciální funkci $f(x) =\left( \dfrac {m-1} {m}\right) ^{x}$ kde $x$ je reálná pvoměnná a $m$ je reálný parametr. Množina všech hodnot parametru $m$ , pro které je uvedená exponenciální funkce rostoucí, je rovna množině:

a) $(-\infty;0)$	b) $(0;\infty)$	c) $(-\infty;0)\cup(1;\infty)$
d) $(-\infty;0)\cup(0;\infty)$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{m-1}m>1$ $\dfrac{m-1-m}m>0$ $\dfrac{-1}m>0$ $m<0$ Správná odpověď je a).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář