B0 | Studijní materiály

1. Všechna reálná řešení rovnice $\left( \dfrac {1} {7}\right) ^{x+1}=49$ náleží intervalu:

$(-4;2)$

$\langle-2;0)$

$\langle0;2)$

$\langle2;4)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left( \dfrac {1} {7}\right) ^{x+1}=49=\left(\dfrac17\right)^{-2}$ $x+1=-2$ $x=-3$ Správná odpověď je a).

2. $\sin \dfrac {7\pi } {3}-\cos \dfrac {13\pi } {6}$ je rovno číslu:

$\dfrac{\sqrt3-1}2$

$\dfrac{\sqrt3}2$

$\dfrac{1}2$

$\dfrac{\sqrt3+1}2$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\sin \dfrac {7\pi } {3}-\cos \dfrac {13\pi } {6}=\sin\dfrac\pi3-\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac{\sqrt3}2=0$ Správná odpověď je e).

3. Zlomek $\dfrac {\sqrt {\sqrt[3]{17}}\cdot \sqrt {17}} {\sqrt[3]{17^{2}}}$ je roven číslu.

$\sqrt{17}$

$\sqrt[3]{17}$

$\sqrt[6]{17}$

$1$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{17^{\frac16}\cdot17^{\frac12}}{17^{\frac23}}=17^{\frac16+\frac12-\frac23}=17^0=1$ Správná odpověď je d).

4. Číslo $\log_{32} 64$ je rovno číslu:

$\dfrac56$

$\dfrac65$

$\dfrac54$

$\dfrac45$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{32}64=\dfrac{\log_264}{\log_232}=\dfrac{\log_22^6}{\log_22^5}=\dfrac65$ Správná odpověď je b).

5. Všechna reálná řešení rovnice $7^{x+1}+7^{x}=8$ náleží intervalu:

$\langle-4;-2)$

$\langle-2;0)$

$\langle0;2)$

$\langle2;4)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$7^{x+1}+7^x=8$ $7^x(7+1)=8$ $7^x=1=7^0$ $x=0$ Správná odpověď je c).

6. Výraz $\log _{8}\sqrt {8}-\log _{8}\sqrt[4]{8^{3}}+\log _{8}\sqrt[4] {8^5}$ je roven číslu:

$0$

$1$

$-1$

$\dfrac12$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_88^{\frac12}-\log_88^{\frac34}+\log_88^{\frac54}=\dfrac12-\dfrac34+\dfrac54=1$ Správná odpověď je b).

7. Počet všech kořenů rovnice $\sin \left( x+\dfrac {\pi } {6}\right) =\dfrac {\pi } {2}$ v intervalu $(0;\pi)$ je roven číslu:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože $\dfrac\pi2>1,\quad$ rovnice nemá řešení. Správná odpověď je e).

8. V aritmetické posloupnosti je dán $n$ -tý člen $a_n = \dfrac{2-5n}4$ . Člen $a_{n+1}$ je:

$\dfrac{-5n-1}4$

$\dfrac{-5n+1}4$

$\dfrac{-5n-2}4$

$\dfrac{-5n-3}4$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$a_{n+1}=\dfrac{2-5(n+1)}4=\dfrac{-5n-3}4$ Správná odpověď je d).

9. Maximálním deﬁničním oborem reálné funkce $f(x) = \sqrt{1 - \log_7x}$ jedné reálné proměnné je množina:

$\langle1;7)$

$\langle1;7\rangle$

$(0;7\rangle$

$(0;7)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\begin{cases}x>0\\1-\log_7x\ge0\end{cases}\ \Rightarrow \ \begin{cases}x>0\\\log_7x\le1=\log_77\end{cases}\ \Rightarrow \ \begin{cases}x>0\\x\le7\end{cases}$ Správná odpověď je c).

10. Absolutní hodnota komplexního čísla $z = (1+ 3i)(2 - 2i)$ je reálné číslo, které je prvkem intervalu:

$\langle0;3)$

$\langle3;5)$

$\langle5;7)$

$\langle7;10)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\|(1+3i)(2-2i)\|=\|1+3i\|\cdot\|2-2i\|=\sqrt{1+9}\cdot\sqrt{4+4}=\sqrt{80}$ $\sqrt{64}<\sqrt{80}<\sqrt{81}$ $8<\sqrt{80}<9$ Správná odpověď je d).

11. Goniometrický tvar komplexního čísla $z = \dfrac{5-3i}{8+2i}$ lze napsat takto:

a) $\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {\pi } {4}+i\sin \dfrac {\pi } {4}\right)$	b) $\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {3\pi } {4}+i\sin \dfrac {3\pi } {4}\right)$	c) $\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {5\pi } {4}+i\sin \dfrac {5\pi } {4}\right)$
d) $\dfrac {\sqrt {2}} {2}\left( \cos \dfrac {7\pi } {4}+i\sin \dfrac {7\pi } {4}\right)$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{5-3i}{8+2i}\cdot \dfrac{8-2i}{8-2i}=\dfrac{40-24i-10i-6}{64+4}=\dfrac{1}{2}-\frac{1}{2}i=$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin \frac{7\pi}{4})$ Správná odpověď je d).

12. Uvažujme exponenciální funkci $f(x) =\left( \dfrac {m-1} {m-3}\right) ^{x}$ , kde $x$ je reálná proměnná a $m$ je reálný parametr. Množina všech hodnot parametru $m$ , pro které je uvedená exponenciální funkce rostoucí, je rovna množině:

a) $(3;\infty)$	b) $(-2;\infty)$	c) $(-\infty;1)\cup(3;\infty)$
d) $(-\infty;3)$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{m-1}{m-3}>1$ $\dfrac{m-1-m+3}{m-3}>0$ $\dfrac2{m-3}>0$ $m>3$ Správná odpověď je a).

13. Uvažujme reálnou funkci $f$ jedné reálně proměnné deﬁnovanou předpisem $f(x) = x^2 - 3x$ . Množina všech reálných čísel $a$ , pro která platí $f(a-2) <f(a-1)+2$ , je rovna množině:

$(-\infty;2)$

$(-2;\infty;)$

$(2;\infty)$

$(-\infty;-2)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$(a-2)^2-3(a-2)<(a-1)^2-3(a-1)+2$ $a^2-4a+4-3a+6<a^2-2a+1-3a+3+2$ $4<2a$ $a>2$ Správná odpověď je c).

14. Počet všech reálných řešení goniometrické rovnice $2\cos^2 x = \cos x$ v intervalu $(0; \frac{3\pi}2\rangle$ je roven číslu:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\cos x(2\cos x-1)=0$ $\cos x=0\qquad\vee\qquad \cos x=\dfrac12$ $\cos x=0\qquad$ má v daném intervalu 2 kořeny $\cos x=\dfrac12\qquad$ má v daném intervalu 1 kořen. Správná odpověď je b).

15. Všechna reálná řešení rovnice $7^{\log_{\frac12}x} = \dfrac1{49}$ náleží intervalu:

$(-4;-2)$

$\langle-2;0)$

$\langle0;3)$

$\langle3;5)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$7^{\log_{\frac12}x}=\dfrac1{49}=7^{-2}$ $\log_{\frac12}x=-2$ $x=\left(\dfrac12\right)^{-2}=4$ Správná odpověď je d).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář