A0 | Studijní materiály

1. Kolik trojcifemých čísel, ve kterých se cifry neopakují, lze sestavit z cifer 1, 2, 3, 4, 5.

a) 60	b) 10	c) 15	d) 125
e) žádná z předchozíchodpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Vybíráme trojici čísel, na pořadí záleží, jedná se proto o variace. $V_3(5)=\dfrac{5!}{(5-3)!}=5\cdot4\cdot3=60$ Správná odpověď je (a).

2. Mezi kořeny kvadratické rovnice $x^2 + 7x - 8 = 0$ vložte dvě čísla tak, aby spolu s těmito kořeny vznikly první čtyři členy aritmetické posloupnosti. Součet vložených čísel je

a) $-2$	b) 3	c) 5	d) $-7$
e) žádná z předchzích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$a_2+a_3=S_4-(a_1+a_4)=\dfrac 42(a_1+a_4)-(a_1+a_4)=(a_1+a_4)$ Podle zadání a Vietovy věty je ale $a_1+a_4=-7\ \Rightarrow\ a_2+a_3=-7$ Správná odpověď je (d).

3. Číslo $\log_4\dfrac1{32}$ je rovno číslu:

a) $\frac52$	b) $-\frac52$	c) $\frac25$	d) $-\frac25$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_4\dfrac1{32}=\dfrac{\log_22^{-5}}{\log_24}=-\dfrac52$ Správná odpověď je (b).

4. Číslo $\dfrac{\sqrt[6]{\sqrt3}\cdot\sqrt3}{\sqrt[3]3\cdot\sqrt[4]3}$ je rovno čıslu:

a) $\sqrt3$	b) $\sqrt[3]3$	c) 1	d) $\sqrt[4]3$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{\sqrt[6]{\sqrt3}\cdot\sqrt3}{\sqrt[3]3\cdot\sqrt[4]3}=\dfrac{3^{\frac1{12}}\cdot3^{\frac12}}{3^{\frac13}\cdot3^{1\frac14}}=\dfrac{3^{\frac7{12}}}{3^{\frac7{12}}}=1$ Správná odpověď je (c).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\left(\dfrac18\right)^x < 1$ , je rovna množině:

a) $(-\infty, 0)$	b) $(0, \infty)$	c) $\emptyset$	d) $(0,1)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left(\dfrac18\right)^x < 1$ $\left(\dfrac18\right)^x < \left(\dfrac18\right)^0$ Protože základ $0<\dfrac18<1$ , musíme při porovnávání exponentů změnit znak nerovnosti. $x>0$ Správná odpověď je (b).

6. Kvadratická rovnice $x^2 + px + q = 0$ s reálnými koeficienty má jeden kořen $x_1 = -3 + \sqrt5i$ . Součet $p + q$ je

a) 14	b) 20	c) 5	d) 6
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má komplexně sdružené kořeny. Je proto $x_2=-3-\sqrt5i$ . Příslušná rovnice je $(x-x_1)(x-x_2)=0$ $(x+3-\sqrt5i)(x+3+\sqrt5i)=0$ $[(x+3)-\sqrt5i][(x+3)+\sqrt5i]$ $(x+3)^2-(\sqrt5i)^2=0$ $x^2+6x+9+5=0$ $x^2+6x+14=0$ Správná odpověď je (b).

7. Množina všech reálných čísel, pro která platí $|x + 1| > 3$ je rovna množině:

a) $(-\infty, -4) \cup (2, \infty)$	b) $(-\infty, -2) \cup (4, \infty)$	c) $(2, \infty)$	d) $(-2,4)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\|x+1\|>3\ \Rightarrow\ (x+1<-3)\ \vee\ (x+1>3)\ \Rightarrow\ (x<-4)\ \vee\ (x>2)$ Správná odpověď je (a).

8. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac12}x < 2$ , je rovna množině:

a) $(0,\frac14)$	b) $(\frac14,\infty)$	c) $(0,\frac12)$	d) $(\frac12,\infty)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Jednak musí platit podmínka $x>0$ , jednak platí $\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}\dfrac14$ Protože základ logaritmu je menší než 1, při "odlogaritmování" je nutné otočit znak nerovnosti. $x>\dfrac14$ Správná odpověď je (b).

9. Obecnou rovnici přímky, která prochází bodem $\mathsf A = [2, -1]$ a je kolmá na přímku $p : 3x + 4y - 11 = 0$ , lze napsat ve tvaru:

a) $4x+3y-5=0$	b) $4x-3y-11=0$	c) $3x-4y-10=0$	d) $4x-3y-12=0$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Přímka $p$ má normálový vektor $\vec n_p=(3;4)$ . Kolmá přímka musí mít normálový vektor $\vec n=(4;-3)$ . Přímka, která má normálový vektor $\vec n=(a;b)$ a která prochází bodem $\mathsf X[x_0;y_0]$ , má rovnici $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.$ Dosazením: $4(x-2)-3(y+1)=0$ $4x-8-3y-3=0$ $4x-3y-11=0$ Správná odpověď je (b).

10. Počet všech reálných kořenů rovnice $\sqrt{x + 3} = x + 1$ je roven číslu:

a) 0	b) 2	c) 3	d) 1
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Nejprve určíme podmínky. Obě strany rovnice musí být nezáporné, proto $x\ge-1$ . Dále obě strany rovnice umocníme na druhou. $x+3=(x+1)^2$ $x+3=x^2+2x+1$ $x^2+x-2=0$ $(x+2)(x-1)=0$ $x_1=-2\qquad x_2=1$ Protože kořen $x_1$ nevyhovuje podmínce, je správná odpověď (d).

11. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_2 (3 - |x - 2|) < 1$ , je rovna množině:

a) $(-1,1)\cup(3, 5)$	b) $(-1,5)$	c) $(-1,1)$	d) $(1,3)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Argument logaritmu musí být kladný $3-\|x-2\|>0\ \Rightarrow\ \|x-2\|<3$ $-3<x-2<3$ $-1<x<5$ Současně platí $\log_2 (3 - \|x - 2\|) < \log_22$ $3-\|x-2\|<2$ $\|x-2\|>1$ $x<1\ \vee\ x>3$ Správná odpověď je (a).

12. Počet všech $x\in \langle0,\pi)$ , pro která platí $\cos x + \sin 2x = 0$ , je roven číslu:

a) 1	b) 2	c) 3	d) 4
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\cos x+\sin2x=0$ $\cos x+2\sin x\cos x=0$ $\cos x(1+2\sin x)=0$ $\cos x=0\quad\vee\quad\sin x=-\dfrac12$ V daném intervalu má rovnice řešení pouze $x=\dfrac\pi2$ . Správná odpověď je (a).

13. Koeficient u $x^2$ v binomickém rozvoji $\left(\sqrt[3]x+\dfrac1x\right)^{10}$ pro $x\ne 0$ je roven číslu:

a) 10	b) $-10$	c) $-20$	d) 20
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Příslušný člen budeme hledat ve tvaru ${10\choose k}(\sqrt[3]x)^{10-k}\cdot\left(\dfrac1x\right)^k=Ax^2$ Porovnáním exponentů dostaneme $\dfrac13(10-k)-k=2$ $-\dfrac43k=-\dfrac42$ $k=1$ Potom $A={10\choose1}=10$ Správná odpověď je (a).

14. Reálná část komplexního čísla $\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)^{31}$ je rovna číslu:

a) $-1$	b) $\frac{\sqrt2}2$	c) $-\frac{\sqrt2}2$	d) 0
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz přepíšeme do tvaru $\left[\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)^2\right]^{15}\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)$ a upravíme $\left(\dfrac24+2\cdot\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{\sqrt2}2i-\dfrac24\right)^{15}\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)=i^{15}\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)=$ $=-i\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2$ Správná odpověď je (b).

Řešení

Ukázat

Výraz přepíšeme do tvaru

$\left[\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)^2\right]^{15}\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)$

a upravíme

$\left(\dfrac24+2\cdot\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{\sqrt2}2i-\dfrac24\right)^{15}\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)=i^{15}\cdot\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)=$

$=-i\left(\dfrac{\sqrt2}2+i\dfrac{\sqrt2}2\right)=\dfrac{\sqrt2}2-i\dfrac{\sqrt2}2$

Správná odpověď je (b).

15. Zmenší-li se počet prvků o jeden, zmenší se počet kombinací třetí třídy z nich vytvořených bez opakování o 45. Určete počet prvků.

a) 11	b) 10	c) 9	d) 8
e) žádná z předchozích odpovědí není zprávná

Řešení	Vybrat Ukázat
Podle zadání $C_3(n)=C_3(n-1)+45$ $\dfrac{n!}{3!\cdot(n-3)!}=\dfrac{(n-1)!}{3!\cdot(n-4)!}+45$ $\dfrac{n(n-1)(n-2)}6=\dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}6+45$ $\dfrac{(n-1)(n-2)(n-n+3)}6=45$ $\underbrace{(n-1)}_{10}\underbrace{(n-2)}_9=90$ Správná odpověď je (a).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář