B0 | Studijní materiály

1. Dodávka obsahuje 17 výrobků. Kolika způsoby lze z této dodávky vybrat 2 výrobky ke kontrole.

a) 136	b) 34	c) 272	d) 68
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Vybíráme dva výrobky ze sedmnácti, na pořadí nezáleží. Jedná se tedy o kombinace ${17\choose2}=\dfrac{17!}{2!\cdot15!}=\dfrac{17\cdot16}2=136$ . Správná odpověď je (a).

2. Mezi kořeny kvadralické rovnice $2x^2 - 9x + 4 = 0$ vložte dvě čísla tak, aby spolu s těmito kořeny vznikly první čtyři členy geometrické posloupnosti. Součet vložených čísel je

a) 3	b) $-3$	c) 2	d) $-2$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Rovnice má kořeny $2x^2-8x-x+4=0$ $2x(x-4)-(x-4)=0$ $(2x-1)(x-4)=0$ $x_1=\dfrac12\qquad \vee\qquad x_2=4$ Bude proto $a_1=\dfrac12\$ a $a_4=4$ . V geometrické posloupnosti platí: $\dfrac{a_4}{a_1}=q^3\ \Rightarrow\ q^3=\dfrac4{\frac12}=8\ \Rightarrow\ q=2$ Pak $a_2=1\$ a $a_3=2$ . Správná odpověď je (a).

3. Číslo $\log_3\dfrac1{27}$ je rovno číslu:

a) $3$	b) $-3$	c) $\frac13$	d) $-\frac13$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Platí $\log_3\dfrac1{27}=\log_3 3^{-3}=-3$ Správná odpověď je (b).

4. Číslo $\log_{\frac17} (|1- 2\sqrt7| -|\sqrt7- 1|)$ je rovno číslu:

a) -1	b) $-\frac12$	c) $\frac12$	d) 1
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože $1-2\sqrt7<0\quad$ a také $\sqrt7-1>0\quad$ , můžeme výraz přepsat $\log_{\frac17} (\|1- 2\sqrt7\| -\|\sqrt7- 1\|)=\log_{\frac17} (-(1- 2\sqrt7) -(\sqrt7- 1))=\log_{\frac17} \sqrt7=$ $\log_{\frac17} \left(\dfrac17\right)^{-\frac12}=-\dfrac12$ Správná odpověď je (b).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\left(\dfrac35\right)^x < -\dfrac53$ , je rovna množině:

a) $(-\infty, 0)$	b) $(0, \infty)$	c) $(-\infty, \infty)$	d) $\emptyset$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Hodnoty exponenciální funkce jsou vždy kladné. Nerovnice nemá řešení. Správná odpověď je (d).

6. Kvadratická rovnice $x^2 + px + q = 0$ s reálnými koeficienty má jeden kořen $x_1 = -3 + i$ . Součet $p + q$ je

a) 6	b) 2	c) 16	d) 10
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má komplexně sdružené kořeny. Je proto $x_2=-3-i$ . Příslušná rovnice je $(x-x_1)(x-x_2)=0$ $(x+3-i)(x+3+i)=0$ $[(x+3)-i][(x+3)-i]=0$ $(x+3)^2-i^2=0$ $x^2+6x+9+1=0$ $x^2+6x+10=0$ Správná odpověď je (c).

7. Deﬁniční obor funkce $f (x) = \sqrt{x^2 + 9x + 14}$ je roven množině:

a) $(-\infty, -7\rangle \cup \langle-2, \infty)$	b) $\langle-7, -2\rangle$	c) $\langle2, 7\rangle$	d) $(-\infty, 2\rangle \cup \langle7, \infty)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. $x^2+9x+14\ge0$ $(x+7)(x+2)\ge0$ $x\in(-\infty;-7\rangle\cup\langle-2;\infty)$ Správná odpověď je (a).

8. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac58}x < 0$ , je rovna množině:

a) $(0;1)$	b) $(0; \frac58)$	c) $(1; \infty)$	d) $(\frac58;\infty)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná.

Řešení	Vybrat Ukázat
Jednak musí platit podmínka $x>0$ a jednak platí $\log_{\frac58}x<\log_{\frac58}1$ Protože základ logaritmu je menší než 1, při "odlogaritmování" je nutné otočit znak nerovnosti. $x>1$ Správná odpověď je (c).

9. Poloměr kružnice: $x^2 + y^2 + 14x - 16y + 77 = 0$ je roven číslu:

a) $\sqrt6$	b) $\dfrac{\sqrt6}6$	c) $6$	d) $3$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Rovnici doplníme na čtverec $x^2 + 14x +49+y^2 - 16y + 64 = -77+49+64$ $(x+7)^2+(y-8)^2=36$ Správná odpověď je (c).

10. Počet všech reálných kořenů rovnice $\sqrt{2x - 1} = x - 2$ je roven číslu:

a) 0	b) 1	c) 2	d) 3
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Nejprve určíme podmínky. Obě strany rovnice musí být nezáporné, proto $x\ge2\quad$ . Dále obě strany rovnice umocníme na druhou. $2x-1=(x-2)^2$ $2x-1=x^2-4x+4$ $x^2-6x+5=0$ $(x-5)(x-1)=0$ $x_1=1\qquad x_2=5$ Protože kořen $x_1$ nevyhovuje podmínce, je správná odpověď (b).

11. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac13} |x - 4| > -1$ , je rovna množině:

a) $(1;4) \cup (4; 7)$	b) $(7; \infty)$	c) $(-\infty; 1) \cup (7; \infty)$	d) $(1;7)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Argument logaritmu musí být kladný. $\|x-4\|>0\ \Rightarrow\ x\ne4$ . $\log_{\frac13} \|x - 4\| > -1$ Protože základ logaritmu je menší než 1, při "odlogaritmování" je nutné otočit znak nerovnosti. $\|x-4\|<\left(\dfrac13\right)^{-1}=3$ $-3<x-4<3$ $1<x<7$ Vzhledem k podmínce je správná odpověď (a).

12. Počet všech $x\in (0; \pi\rangle$ , pro která platí $\sin^2x+\sin x = 0$ , je roven číslu:

a) 0	b) 1	c) 2	d) 3
e) žádná z předchozích odpovědí není správná.

Řešení	Vybrat Ukázat
$\sin^2x+\sin x = 0$ $\sin x(\sin x+1) = 0$ $\sin x = 0\quad\vee\quad\sin x=-1$ V daném intervalu má rovnice jediné řešení $x=\pi$ . Správná odpověď je (b).

13. Bod $\mathsf S = [4; -1]$ je střed kružnice a přímka $p: x - y - 1 = 0$ je její tečna. Rovnici této kružnice lze napsat ve tvaru:

a) $(x-4)^2+(y+1)^2 = 6$	b) $(x-4)^2+(y+1)^2 = 10$
c) $(x-4)^2+(y-1)^2 = 9$	d) $(x-4)^2+(y-1)^2 = 8$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Vzdálenost středu od tečny je rovna poloměru kružnice. Vzdálenost bodu od přímky se vypočítá podle vztahu $d(S,p)=\dfrac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $r=\dfrac{\|1\cdot4-1\cdot(-1)-1\|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt2$ Rovnice kužnice je $(x-4)^2+(y+1)^2=8$ a správná odpověď je proto (e).

14. Imaginární část komplexního čísla $z = (-1 +i)^{33}$ je rovna číslu:

a) $2^{15}$	b) $2^{16}$	c) $-2^{15}$	d) $-2^{16}$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz přepíšeme do tvaru $(-1+i)^{33}=[(-1+i)^2]^{16}\cdot(-1+i)$ a dále upravíme $(1-2i+i^2)^{16}\cdot(-1+i)=(-2)^{16}\cdot i^{16}\cdot(-1+i)=-2^{16}+2^{16}i$ Správná odpověď je (b).

15. Kolik je prvků, jestliže počet variací druhé třídy z nich vytvořených bez opakování je o 36 větší než počet kombinací druhé třídy z nich vytvořených bez opakování.

a) 6	b) 7	c) 8	d) 9
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Podle zadání $V_2(n)=C_2(n)+36$ $\dfrac{n!}{(n-2)!}=\dfrac{n!}{2!\cdot(n-2)!}+36$ $\dfrac{n!}{2!\cdot(n-2)!}=36$ $\underbrace{n}_{9}\cdot\underbrace{(n-1)}_{8}=72$ Správná odpověď je (d).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář