C0 | Studijní materiály

1. Na sázence je 30 čísel. Kolika způsoby lze označit tři z nich.

a) 90	b) 4060	c) 24360	d) 9000
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Vybíráme tři čísla, na pořadí nezáleží, jedná se tedy o kombinace. ${30\choose3}=\dfrac{30!}{3!\cdot27!}=\dfrac{30\cdot29\cdot28}6=4060$ Správná odpověď je (b).

2. Mezi kořeny kvadratické rovnice $x^2 + 7x - 8 = 0$ vložte dvě čísla tak, aby spolu s těmito kořeny vznikly první čtyři členy aritmetické posloupnosti. Součet vložených čísel je:

a) -2	b) 3	c) 5	d) -7
e) žádná z předchzích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
V aritmetické posloupnosti platí $a_2+a_3=a_1+a_4$ (viz varianta B0). Proto $a_2+a_3=-7$ Správná odpověď je (d).

3. Číslo $\log_{16}\dfrac12$ je rovno číslu:

a) $\dfrac14$	b) 4	c) $-\dfrac14$	d) $-4$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{16}\dfrac12=x\ \Rightarrow\ 16^x=\dfrac12$ $2^{4x}=2^{-1}$ $x=-\dfrac14$ Správná odpověď je (c).

4. Číslo $\dfrac{\sqrt[12]2\cdot\sqrt[3]4}{\sqrt2\cdot\sqrt[4]2}$ je rovno číslu:

a) $\sqrt[3]2$	b) $\sqrt2$	c) 1	d) 2
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{\sqrt[12]2\cdot\sqrt[3]4}{\sqrt2\cdot\sqrt[4]2}=\dfrac{2^{\frac1{12}}\cdot2^{\frac23}}{2^{\frac12}\cdot2^{\frac14}}=\dfrac{2^{\frac34}}{2^{\frac34}}=1$ Správná odpověď je (c).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\left(\dfrac53\right) ^x< -\dfrac35$ , je rovna množině:

a) $(-\infty, -2)$	b) $(-2, \infty)$	c) $\emptyset$	d) $(-\infty, \infty)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Hodnoty exponenciální funkce jsou vždy kladné. Nerovnice nemá řešení. Správná odpověď je (c).

6. Kvadratická rovnice $x^2 + px + q =0$ s reálnými koeficienty má jeden kořen $x_1 = -2 -\sqrt2i$ . Součet $p + q$ je

a) 6	b) 4	c) 7	d) 10
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má komplexně sdružené kořeny. Je proto $x_2=-2+\sqrt2i$ . Příslušná rovnice je $(x+2+\sqrt2i)(x+2-\sqrt2i)=0$ $x^2+4x+4+2=0$ $x^2+4x+6=0$ Správná odpověď je (d).

7. Deﬁniční obor funkce $f (x) = \sqrt{9 - x^2}$ je roven množině:

a) $(-3,0) \cup (0,3)$	b) $(-\infty,3\rangle$	c) $\langle-3, 3\rangle$	d) $(-3,3\rangle$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$9-x^2\ge0$ $(3-x)(3+x)\ge0$ $x\in\langle-3;3\rangle$ Správná odpověď je (c).

8. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_7 (x + 1) < 0$ , je rovna množině:

a) $(-1, 0)$	b) $(0,1)$	c) $(0, \infty)$	d) $(-1, \infty)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Jednak musí platit podmínka $x+1>0\ \Rightarrow\ x>-1$ Dále $\log_7(x+1)<0=\log_71$ $x+1<1$ $x<0$ Správná odpověď je (a).

9. Obecnou rovnici přímky, která prochází bodem $\mathsf A = [1, -1]$ a je kolmá na přímku $p : \begin{cases}x=7+4t\\y=2-3t\end{cases}$ , kde $t \in\mathbb R$ , lze napsat ve tvaru:

a) $4x+3y-1=0$	b) $3x+4y+1=0$	c) $3x-4y-7=0$	d) $4x-3y-7=0$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Směrový vektor přímky $p$ je $\vec s_p=(4;-3)=\vec n_q,\quad\$ kde $q$ je hledaná přímka. Pak $q:4(x-1)-3(y+1)=0$ $q:4x-3y-7=0$ Správná odpověď je (d).

10. Počet všech $x\in (0, 2\pi)$ , pro která platí $\sin x = -\dfrac23$ , je roven číslu:

a) 0	b) 1	c) 3	d) 2
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Funkce sinus nabývá v jedné periodě každou hodnotu z intervalu $(-1;1)\quad$ dvakrát. Správná odpověď je (d).

11. Množina všech reálných čísel, pro která platí $1 < \log_5 |x| < 2$ , je rovna množině:

a) $(-25, -5) \cup (5,25)$	b) $(5,25)$	c) $(-25, 0) \cup (0,25)$	d) $(-25, -1) \cup (1,25)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Musí platit podmínka $\|x\|>0\ \Rightarrow\ x\ne0.\quad\quad$ Pak $\log_55<\log_5\|x\|<\log_525$ $5<\|x\|<25$ Správná odpověď je (a).

12. Počet všech $x\in (0, \pi)$ , pro která platí $\cos 2x - 1 = \sin x$ , je roven číslu:

a) 3	b) 2	c) 1	d) 0
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\cos 2x-1=\sin x$ $1-2\sin^2x-1=\sin x$ $\sin x(2\sin x+1)=0$ $\sin x=0\quad\vee\quad\sin x=-\dfrac12$ V daném intervalu řešení neexistuje. Správná odpověď je (d).

13. Bod $\mathsf S = [-1, 1]$ je střed kružnice a přímka $t : y = -x + 4$ je její tečna. Rovnici této kružnice lze napsat ve tvaru:

a) $(x+1)^2+(y-1)^2 = 6$	b) $(x+1)^2+(y-1)^2 = 8$
c) $(x+1)^2+(y-1)^2 = 7$	d) $(x+1)^2+(y-1)^2 = 4$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Vzdálenost středu od tečny je rovna poloměru kružnice. Vzdálenost bodu od přímky se vypočítá podle vztahu $d(S,p)=\dfrac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ Přímku $t$ můžeme napsat jako $t:x+y-4=0.$ Pak $r=\dfrac{\|1\cdot(-1)+1\cdot1-4\|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt2$ Rovnice kužnice je $(x+1)^2+(y-1)^2=8\qquad$ a správná odpověď je proto (b).

14. Reálná část komplexního čísla $z = (1 + i\sqrt3)^{18}$ je rovna číslu:

a) $-2^{18}$	b) $2^{18}$	c) $2^{16}$	d) 0
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože $1+i\sqrt3=2\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}2\right)=2\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)$ můžeme pomocí Moivreovy věty vyjádřit $z$ jako $z=2^{18}\left(\cos\dfrac{18\pi}3+i\sin\dfrac{18\pi}3\right)=2^{18}(\cos6\pi+i\sin6\pi)=2^{18}$ Správná odpověď je (b).

15. Množina všech reálných čísel, pro která platí $2^{x^2-|x|} > 1$ , je rovna množině:

a) $(-1,1)$	b) $(1, \infty)$	c) $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$	d) $(-1,0) \cup (0,1)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$2^{x^2-\|x\|} > 1=2^0$ $x^2-\|x\|>0$ $\|x\|(\|x\|-1)>0$ $\|x\|-1>0$ $x\in(-\infty;-1)\cup(1;\infty)$ Správná opdpověď je (c).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář