D0 | Studijní materiály

1. Na sázence je 25 čísel. Kolika způsoby lze označit dvě z nich?

a) 300	b) 625	c) 600	d) 50
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Na pořadí vybrané dvojice nezáleží, jedná se proto o kombinace. $C_2(25)=\dfrac{25!}{2!\cdot23!}=\dfrac{25\cdot24}2=300$ Správná odpověď je (a).

2. Mezi kořeny kvadratické rovnice $x^2 - 2x - 8 = 0$ vložte dvě čísla tak, aby spolu s těmito kořeny vznikly první čtyři členy aritmetické posloupnosti. Součet vložených čísel je

a) 4	b) 2	c) -4	d) 0
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
V aritmetické posloupnosti platí $a_1+a_4=a_2+a_3$ Podle zadání je $a_1+a_4=2$ Správná odpověď je (b).

3. Reálné číslo $c$ , pro které platí $\log_c\dfrac14 = 2$ , je prvkem intervalu:

a) (0,1)	b) (1, 2)	c) (2, 3)	d) (3, 4)
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_c\dfrac14 = 2\ \Rightarrow\ c^2=\dfrac14\ \Rightarrow\ c=\dfrac12$ Správná odpověď je (a).

4. Výraz $\log_3\dfrac{\sqrt[3]9}{\sqrt{\sqrt[3]3}\cdot\sqrt3}$ si je roven číslu:

a) 0	b) 1	c) -1	d) $\dfrac13$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_3\dfrac{\sqrt[3]9}{\sqrt{\sqrt[3]3}\cdot\sqrt3}=\log_3\dfrac{3^{\frac23}}{3^{\frac16}\cdot3^{\frac12}}=\dfrac23-\dfrac16-\dfrac12=0$ Správná odpověď je (a).

5. Množına všech reálných čísel, pro která platí $\left(\dfrac34\right)^x<\dfrac43$ , je rovna množině:

a) $(-\infty,-1)$	b) $(-1,\infty)$	c) $(-\infty,1)$	d) $(-1,0)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná.

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left(\dfrac34\right)^x<\dfrac43=\left(\dfrac34\right)^{-1}$ $x>-1$ Správná odpověď je (b).

6. Kvadratická rovnice $x^2 + px + q = 0$ má jeden kořen $x_1 = 1 + \sqrt2i$ . Součet $p + q$ je

a) 3	b) 0	c) 1	d) 2
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Druhý kořen bude komplexně sdružený -> $x_2=1-\sqrt2i.\qquad$ Rovnice je $(x-1-\sqrt2i)(x-1+\sqrt2i)=$ $x^2-2x+1+2=0$ $x^2-2x+3=0$ Správná odpověď je (c).

7. Deﬁniční obor funkce $f (x) = \log(x^2 - 6x + 5)$ je množina:

a) $(1,5)$	b) $(-5,-1)$	c) $(-\infty, 1) \cup (5,\infty)$	d) $(-\infty,-5)\cup(-1,\infty)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Argument logaritmu musí být kladný. $x^2-6x+5>0$ $(x-5)(x-1)>0$ $x\in(-\infty;1)\cup(5;\infty)$ Správná odpověď je (c).

8. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac59}x < 0$ , je rovna množině:

a) $(1, \infty)$	b) $(0,1)$	c) $(0, \infty)$	d) $(\frac59, 1)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná.

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{\frac59}x < 0=\log_{\frac59}1$ $x>1$ Správná odpověď je (a).

9. Přímky $p_1:2x+y-1 =0$ a $p_2: x-2y-3=0$ se protínají:

a) uvnitř prvního kvadrantu	b) uvnitř druhého kvadrantu	c) uvnitř třetího kvadrantu	d) uvnitř čtvrtého kvadrantu
e) žádná z předchozích odpovědí není správná.

Řešení	Vybrat Ukázat
$\begin{cases}2x+y=1\quad\|\cdot2\\x-2y=3\end{cases}$ $\begin{cases}4x+2y=2\\+\\x-2y=3\end{cases}\Rightarrow\ \begin{cases}y=1-2x\\5x=5\end{cases}\ \Rightarrow\ \mathsf P[1;-1]$ Správná odpověď je (d).

10. Je-li $\sin \alpha = \dfrac34$ , pak výraz $\cos 2\alpha$ je roven číslu:

a) $\dfrac18$	b) $-\dfrac18$	c) $\dfrac38$	d) $-\dfrac38$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná.

Řešení	Vybrat Ukázat
Platí $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ $\cos2\alpha=1-2\cdot\left(\dfrac34\right)^2=-\dfrac18$ Správná odpověď je (b).

11. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_2 (3 - |x - 2|) < 1$ , je rovna množině:

a) $(-1,1)\cup(3,5)$	b) $(-1,5)$	c) $(-1,1)$	d) $(1,3)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Stejné jako ve variantě A0, příklad 11. Správná odpověď je (a).

12. Počet všech $x\in \langle0, 2\pi\rangle$ , pro která platí $\sqrt2 \sin \dfrac x2 = - \sin x$ , je roven číslu:

a) 0	b) 1	c) 2	d) 3
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$\sqrt2 \sin \dfrac x2 = - \sin x$ $\sqrt2\sin\dfrac x2=-2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2$ $\sin\dfrac x2=0\quad\vee\quad\cos\dfrac x2=-\dfrac{\sqrt2}2$ Rovnice $\sin\dfrac x2=0\quad$ má v daném intervalu dvě řešení $x_1=0\quad$ a $x_2=2\pi.$ Rovnice $\cos\dfrac x2=-\dfrac{\sqrt2}2\quad$ má v tomto intervalu jedno řešení $x_3=\dfrac{3\pi}2.\quad$ Správná odpověď je (d).

13. Bod $\mathsf S = [4, -1]$ je střed kružnice a přímka $p : x - y - 1 = 0$ je její tečna. Rovnici této kružnice lze napsat ve tvaru:

a) $(x-4)^2+(y+1)^2 = 6$	b) $(x-4)^2+(y+1)^2 = 10$
c) $(x-4)^2+(y+1)^2 = 9$	d) $(x-4)^2+(y+1)^2 = 8$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Vzdálenost středu od tečny je rovna poloměru kružnice. Vzdálenost bodu od přímky se vypočítá podle vztahu $d(S,p)=\dfrac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ Pak $r=\dfrac{\|1\cdot4-1\cdot(-1)-1\|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt2$ Rovnice kužnice je $(x-4)^2+(y+1)^2=8\qquad$ a správná odpověď je proto (d).

14. Reálná část komplexního čísla $z = (1 + i)^{33}$ je rovna číslu:

a) $-2^{17}$	b) $2^{17}$	c) $-2^{16}$	d) $2^{16}$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz přepíšeme do tvaru $(1+i)^{33}=[(1+i)^2]^{16}\cdot(1+i)$ a dále upravíme $(1+2i+i^2)^{16}\cdot(1+i)=(2)^{16}\cdot i^{16}\cdot(1+i)=2^{16}+2^{16}i$ Správná odpověď je (d).

15. Množina všech reálných čísel, pro která platí $7^{x^2-2|x|} < 1$ , je rovna množině:

a) $(-\infty, 2)$	b) $(-2,0)$	c) $(-2, 2)$	d) $(-2, 0) \cup (0,2)$
e) žádná z předchozích odpovědí není správná

Řešení	Vybrat Ukázat
$7^{x^2-2\|x\|} < 1=7^0$ $x^2-2\|x\|<0$ $\|x\|(\|x\|-2)<0$ $x\ne0\quad\wedge\quad\|x\|-2<0$ $x\in(-2;0)\cup(0;2)$ Správná opdpověď je (d).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář