A0 | Studijní materiály

1. Číslo $\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt[4]2}\cdot\sqrt2}{\sqrt[3]2\cdot\sqrt[4]2}$ je rovno číslu:

(a)

$\frac12$

(b)

$\sqrt2$

(d)

$\sqrt[3]2$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt[4]2}\cdot\sqrt2}{\sqrt[3]2\cdot\sqrt[4]2}=2^{\frac1{12}+\frac12-\frac13-\frac14}=2^0=1$ Správná odpověď je (e).

2. V loterii je 2000 losů. Kolika způsoby lze vybrat dva z nich?

(a) 4000

(b) 1 999 000

(d) 3 998 000

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Dva losy z 2000 losů můžeme vybrat $\displaystyle{2000\choose2}=\dfrac{2000\cdot1999}2=1\,999\,000$ způsoby. Správná odpověď je (b).

3. Reálné číslo $c$ , pro které platí $\log_c\dfrac14=\dfrac12,$ je prvkem intervalu:

(a) (0;1)

(b) (1;4)

(d) (10;20)

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_c\dfrac14=\dfrac12\ \Leftrightarrow \ \dfrac14=c^{\frac12}=\sqrt c\ \Rightarrow \ c=\dfrac{1}{16}.$ Správná odpověď je (a).

4. Absolutní hodnota komplexního čísla $z=\dfrac{3-4i}{1-7i}$ je rovna číslu:

(a)

$\sqrt2$

(b)

$\frac1{\sqrt2}$

(c)

$2$

(d)

$5$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left\|\dfrac{3-4i}{1-7i}\right\|=\dfrac{\|3-4i\|}{\|1-7i\|}=\dfrac{\sqrt{9+16}}{\sqrt{1+49}}=\dfrac{5}{5\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}.$ Správná odpověď je (b).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac12}(x+1)<0,$ je rovna množině:

(a)

$(0,\infty)$

(b)

$(-1,\infty)$

(c)

$(-1,0)$

(d)

$(-1,1)$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{\frac12}(x+1)<0=\log_{\frac12}1$ $x+1>1\ \Rightarrow\ x>0$ Správná odpověď je (a).

6. Průsečík grafů funkcí $f(x) = 5^x + 2,$ $g(x) = 3\cdot5^x + 12$ je:

a) uvnitř prvního kvadrantu

(b) uvnitř druhého kvadrantu

(d) uvnitř čtvrtého kvadrantu

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$5^x+2=3\cdot5^x+12$ $-5=5^x$ Rovnice nemá řešení. Správná odpověď je (e).

7. Deﬁniční obor funkce $f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 7}$ je roven množině:

(a) $\langle1;7\rangle$	(b) $\langle-7;-1\rangle$	(c) $(-\infty;1\rangle\cup\langle7;\infty)$
(d) $(-\infty;-7\rangle\cup\langle-1;\infty)$		(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$x^2-8x+7\ge0$ $(x-7)(x-1)\ge0$ $x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle7;\infty)$ Správná odpověď je (c).

8. Součet všech reálných řešení rovnice $\sqrt{2x-5} = x - 4$ je:

(a) 2

(b) 10

c) 0

(d) 3

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Podmínky: $x\ge4$ $2x-5=x^2-8x+16\\ x^2-10x+21=0\\ (x-7)(x-3)=0$ Jediný kořen je $x=7$ . Správná odpověď je (e).

9. Posloupnost je dána rekurentním vztahem $a_{n+1} = a_n-\dfrac12a_{n-1},$ $a_4 = 6,$ $a_5 = 2$ Určete osmý člen posloupnosti.

(a)

$a_8=-\frac52$

(b)

$a_8=-2$

(c)

$a_8=-\frac32$

$a_8=-1$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Krok za krokem $a_6=a_5-\frac12a_4=2-\frac12\cdot6=-1$ $a_7=a_6-\frac12a_5=-1-\frac12\cdot2=-2$ $a_8=a_7-\frac12a_6=-2-\frac12\cdot(-1)=-\frac32$ Správná odpověď je (c).

10. Obecnou rovnici přímky, která prochází bodem $\mathsf A = [2, 3]$ a je kolmá na přímku $p:\begin{cases}x=6+3t\\y=-1+2t,\end{cases}$ kde $t\in\mathbb R,$ lze napsat ve tvaru:

(a) $3x-2y=0$	(b) $2x-3y+5=0$	(c) $2x+3y-13=0$
(d) $3x+2y-12=0$		(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Směrový vektor přímky $p$ je $\vec s_p=(3;2)$ což je současně normálový velktor hledané přímky $\vec n=(3;2).$ Rovnice přímky je $3(x-2)+2(y-3)=0$ $3x+2y-12=0.$ Správná opdpověď je (d).

11. Součet všech řešení goniometrické rovnice $\sin \frac x2 + \cos x - 1 = 0$ v intervalu $(0; 2\pi)$ je:

(a)

$\pi$

(b)

$2\pi$

(c)

$3\pi$

(d)

$\frac{\pi}2$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\sin \frac x2 + \cos x - 1 = 0\\ \sin\frac x2+\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2-\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2=0\\ \sin\frac x2(1-2\sin\frac x2)=0$ a) $\sin\frac x2=0\ \Rightarrow\ x=2k\pi$ V daném intervalu tyto kořeny neleží. b) $\sin\frac x2=\frac12\ \Rightarrow\ x_1=\frac\pi3+4k\pi\ \vee\ x_2=\frac{5\pi}3+4k\pi$ Tyto křeny leží v daném intervalu jen pro $k=0.$ Pak $x_1+x_2=2\pi.$ Správná odpověď je (b).

Řešení

Ukázat

$\sin \frac x2 + \cos x - 1 = 0\\ \sin\frac x2+\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2-\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2=0\\ \sin\frac x2(1-2\sin\frac x2)=0$

$\sin\frac x2=0\ \Rightarrow\ x=2k\pi$ V daném intervalu tyto kořeny neleží.
b)

$\sin\frac x2=\frac12\ \Rightarrow\ x_1=\frac\pi3+4k\pi\ \vee\ x_2=\frac{5\pi}3+4k\pi$ Tyto křeny leží v daném intervalu jen pro

$k=0.$ Pak

$x_1+x_2=2\pi.$ Správná odpověď je (b).

12. Definiční obor funkce $f(x) = \sqrt{\dfrac{\log_7(9-3x)}{-7-x^2}}$ je roven množině:

(a)

$(\frac83;3)$

(b)

$\langle\frac83;3)$

(c)

$\langle\frac53;3)$

(d)

$(\frac53;3)$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. $\dfrac{\log_7(9-3x)}{-7-x^2}\ge0$ Protože jmenovatel je vždy záporný, musí být i čitatel záporný nebo nula. To, spolu s podmínkou pro argument logaritmu, dává: $0<9-3x\le1\\-9<-3x\le-8\\8\le3x<9\\\frac83\le x<3$ Správná odpověď je (b).

13. Všechna řešení rovnice $4^x-5\cdot2^x=-4$ jsou prvky intervalu:

(a)

$\langle3;6)$

(b)

$2\langle6;10)$

(c)

$\langle8;12)$

(d)

$(-1;3)$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$4^x-5\cdot2^x+4=0\\ (2^x-1)(2^x-4)=0\\ 2^x=1\ \vee\ 2^x=4\\ x=0\ \vee\ x=2$ Správná odpověď je (d).

14. Kamarádky Andula, Bára a Dana dostávají každý měsíc kapesné.
Andula říká: „Kdybych dostávala o 40 % větší kapesné, a ty, Báro, kdybys dostávala o 30 % méně, tak bychom my dvě dostávaly stejně.“
Bára říká: „Kdybych dostávala o 50 % větší kapesné, a ty, Dano, o 50 % méně, tak bychom my dvě dostávaly stejně.“
Vyberte pravdivé tvrzení:

(a) Andula dostává 6x méně peněz než Dana.	(b) Bára dostává 2x méně peněz než Andula.	(c) Dana dostává 3x méně peněz než Bára.
(d) Dana dostává 5x méněpeněz než Andula.		(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Kapesné Anny označíme $a$ , Báry $b$ a Dany $d.$ Pak platí $\begin{cases}1,4a=0,7b\\1,5b=0.5d\end{cases}\ \Rightarrow\ d=6a$ Správná odpověď je (a).

15 Koeficient u $x^2$ v binomickém rozvoji $\left(\sqrt[3]x + \dfrac1x\right)^{10}$ pro $x\ne 0$ je roven číslu:

(a)

$10$

(b)

$-10$

(c)

$20$

(d)

$-20$

(e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Hledaný koeficient označíme $A$ . Pak platí $Ax^2={10\choose k}x^{\frac{10-k}3}\cdot x^{-k}$ porovnáním exponentů dostaneme rovnici $\dfrac{10-k}3-k=2\\10-k-3k=6\\k=1$ Pak $A={10\choose1}=10.$ Správná odpověď je (a).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář