C0 | Studijní materiály

1. Číslo $\log_{\frac32}\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}}$ je rovno číslu:

(a)

$\frac23$

(b)

$-1$

(c)

$\frac32$

(d)

$3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{\frac32}\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}}=\log_{\frac32}\sqrt{\dfrac{27}{12}}=\log_{\frac32}\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\log_{\frac32}\dfrac{3}{2}=1$ Správná odpověď je (e).

2. Číslo $\displaystyle{7\choose3}-{6\choose3}$ je rovno číslu:

(a)

${6\choose2}$

(b)

${5\choose3}^2$

(c)

${5\choose3}$

(d)

${6\choose2}^2$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože platí ${n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}$ je ${n+1\choose k+1}-{n\choose k+1}={n\choose k}\\{7\choose3}-{6\choose3}={6\choose2}$ Správná odpověď je (a).

3. Číslo $\log_{\frac19}27$ je rovno číslu:

(a)

$-\frac52$

(b)

$\frac32$

(c)

$\frac23$

(d)

$-\frac23$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{\frac19}27=\dfrac{\log_327}{\log_3\frac19}=\dfrac{\log_33^3}{\log_33^{-2}}=-\dfrac32$ Správná odpověď je (e).

4. Kvadratìcká rovnice $x^2 + px + q = 0,$ kde $p,\,q\in\mathbb R$ , má jeden kořen $x_1 = -1 - \sqrt2i.$ Součet $p + q$ je:

(a)

$2$

(b)

$6$

(c)

$5$

(d)

$3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$x_1=-1-\sqrt2i\\x_2=-1+\sqrt2i\\q=x_1\cdot x_2=3\\p=-(x_1+x_2)=2\\p+q=5$ Správná odpověď je (c).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_5x < - 1,$ je rovna množině:

(a)

$(0, 5)$

(b)

$(1, 5)$

(c)

$(0,1)$

(d)

$\emptyset$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Podmínka: $x>0$ $\log_5x<-1\\ \log_5x<\log_5\dfrac15\\ 0<x<\dfrac15$ Správná odpověď je (e).

6. Množina všech reálných čısel, pro která platı $\left(\dfrac53\right)^x< -\dfrac35,$ je rovna množině:

(a)

$(-\infty, -2)$

(b)

$(-2;\infty)$

(c)

$\emptyset$

(d)

$(-\infty;\infty)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz $\left(\dfrac53\right)^x$ je vždy kladný. Správná odpověď je (c).

7. Deﬁniční obor funkce $f x) = \log(8x - 7 - x^2)$ je roven množině:

(a) $(1,7)$	(b) $(-7,-1)$	(c) $(-\infty,1)\cup(7,\infty)$
(d) $(-\infty,-7)\cup(-1,\infty)$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Argument logaritmu musí být kladný. $8x-7-x^2>0\\ x^2-8x+7<0\\ (x-1)(x-7)<0\\ x\in(1;7)$ Správná odpověď je (a).

8. Počet všech reálných řešení rovnice $\sqrt{3x + 6} = x - 4$ je roven číslu:

(a)

$1$

(b)

$2$

(c)

$3$

(d)

$0$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Podmínka: $x\ge4$ $\sqrt{3x+6}=x-4\\3x+6=x^2-8x+16\\ x^2-11x+10=0\\ (x-1)(x-10)=0\\ x_1=1\quad\vee\quad x_2=10$ Vzhledem k podmínce platí jen $x_2.$ Správná odpověď je (a).

9. Mezi kořeny kvadratìcké rovnice $x^2 - 2x - 8 = 0$ vložte dvě čísla tak, aby spolu s těmito kořeny vznikly první čtyři členy aritmetické posloupnosti. Součet vložených čísel je

(a)

$4$

(b)

$-2$

(c)

$-4$

(d)

$0$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
V aritmetické posloupnosti platí $a_1+a_4=a_1+a_1+3d=a_1+d+a_1+2d=a_2+a_3.$ Součet vložených čísel bude stejný jako součet kořenů rovnice. Podle Vietových vztahů je součet $x_1+x_2=2.$ Správná odpověď je (e).

10. Obecnou rovnıcı přímky, která prochází bodem $\mathsf A = [2, -2]$ a je kolmá na příku $p : \begin{cases}x=7+3t\\y=6-2t,\end{cases}$ kde $t\in\mathbb R,$ lze napsat ve tvaru:

(a) $3x-2y-10=0$	(b) $3x+2y-2=0$	(c) $2x+3y+2=0$
(d) $2x-3y-10=0$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Směrový vektor přímky $p$ je $\vec s_p=(3;-2).$ Ten je totožný s normálovým vektorem hledané přímky. Ta má tvar $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0\\3(x-2)-2(y+2)=0\\3x-2y-10=0$ Správná odpověď je (a).

11. Počet všech $x\in\langle0,\pi\rangle,$ pro která platí $2\sin^2x -\sqrt2 \sin x = 0,$ je roven číslu:

(a)

$2$

(b)

$1$

(c)

$4$

(d)

$3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\sqrt2\sin x(\sqrt2\sin-1)=0\\\sin x=0\quad\vee\quad\sin x=\dfrac{\sqrt2}2\\ x_1=k\pi\quad\vee\quad x_2=\dfrac\pi4+2k\pi\quad\vee\quad x_3=\dfrac{3\pi}4+2k\pi$ Do daného intervalu spadají 4 kořeny $(0;\frac\pi4;\frac{3\pi}4;\pi).$ Správná odpověď je (c).

12. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac12}|x - 1| > -1,$ je rovna množině:

(a) $(-1;1)\cup(1;3)$	(b) $(1;3)$	(c) $(-3;-1)$
(d) $(-1;3)$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Podmínka: $x\ne1$ $\log_{\frac12}\|x - 1\| > -1\\\log_{\frac12}\|x - 1\| >\log_{\frac12}2\\\|x-1\|<2\\-2<x-1<2\\-1<x<3$ Vzhledem k podmínce je $x\in(-1;1)\cup(1;3).$ Správná odpověď je (a).

13. Množina všech reálných čísel, pro která platí $|5^x - 3| < 2,$ je rovna množině:

(a) $(0;1)$	(b) $(-1;0)$	(c) $(-\infty;0)\cup(1;\infty)$
(d) $(-\infty;1)$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$-2<5^x-3<2\\1<5^x<5\\5^0<5^x<5^1\\0<x<1$ Správná odpověď je (a).

14. Reálná část komplexního čísla $\left(\dfrac{\sqrt3}2+i\dfrac12\right)^{17}$ je rovna číslu:

(a)

$\frac{\sqrt3}2$

(b)

$\frac12$

(c)

$-\frac12$

(d)

$-\frac{\sqrt3}2$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left(\dfrac{\sqrt3}2+i\dfrac12\right)^{17}=\left(\cos\frac\pi6+i\sin\frac\pi6\right)^{17}=\cos\frac{17\pi}6+i\sin\frac{17\pi}6=\cos\frac{5\pi}6+i\sin\frac{5\pi}6=\\=-\frac{\sqrt3}2+i\frac12$ Správná odpověď je (d).

15. Množina všech reálných hodnot parametrů $a,$ pro které má rovnice $3ax + 1 = 4x + 2ax-2a$ klaıdný kořen, je rovna množině:

(a) $(-\frac12;4)$	(b) $(-\infty;-\frac12)\cup(4;\infty)$	(c) $\langle-\frac12;4\rangle$
(d) $(4;\infty)$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$3ax+1=4x+2ax-2a\\2a+1=4x-ax\\ x=\frac{2a+1}{4-a}\\\frac{2a+1}{4-a}>0\\ x\in\left(-\frac12;4\right)$ Správná odpověď je (a).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář