A1 | Studijní materiály

1. Číslo $\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt3}\cdot\sqrt3}{\sqrt[3]3\cdot\sqrt[4]3}$ je rovno číslu

$\sqrt[4]3$

(b)

$\sqrt3$

(c)

$1$

(d)

$\sqrt[3]3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt3}\cdot\sqrt3}{\sqrt[3]3\cdot\sqrt[4]3}=3^{\frac1{6}+\frac12-\frac13-\frac14}=3^{\frac1{12}}$ Správná odpověď je (e).

2. V tombole je 120 čísel. Kolika způsoby si lze vybrat dvě z nich?

(a) 14 400

b) 14 280

c) 240

(d) 7140

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Počet výběrů určuje kombinační číslo ${120\choose2}=\dfrac{120!}{2!\cdot118!}=\dfrac{120\cdot119}2=119\cdot60=7140$ Správná odpověď je (d).

3. Číslo $\log_{\frac1{16}} 8$ je rovno číslu:

(a)

$\frac34$

(b)

$-\frac34$

(c)

$\frac43$

(d)

$-\frac43$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{\frac1{16}} 8=\dfrac{\log_22^3}{\log_22^{-4}}=-\dfrac34$ Správná odpověď je (b).

4. Kvadratická rovnice $x^2 + px + q = 0$ , $p,q\in\mathbb R$ , má jeden kořen $x_1 = -1-\text i$ . Součet $p+ q$ je

(a)

$2$

(b)

$4$

(c)

$0$

(d)

$3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože má rovnice reálné koeficienty, je druhý kořen $x_2=-1+\text i$ . Podle Vietových vzorců je $q=x_1\cdot x_2=(-1-\text i)(-1+\text i)=2\\p=-(x_1+x_2)=-(-1-\text i-1+\text i)=2\\p+q=4$ Správná odpověď je (b).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_4 (x + 3) \le0$ , je rovna množině:

(a)

$(-3;2)$

(b)

$(-2; 1)$

(c)

$(-3;-2\rangle$

(d)

$(-2,-1\rangle$

e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Musí platit podmínka $x+3>0\\ x>-3$ Pak $\log_4(x+3)\le \log_41\\x+3\le1\\ x\le-2\\ x\in(-3;-2\rangle$ Správná odpověď je (c).

6. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\left(\dfrac32\right)^x > -1$ , je rovna množině:

(a)

$\emptyset$

(b)

$(-\infty;\infty)$

(c)

$(0;\infty)$

(d)

$(-\infty;1)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz $\left(\dfrac32\right)^x$ je vždy kladný. Správná odpověď je (b).

7. Definiční obor funkce $f (x) =\sqrt{8x-x^2-7}$ je roven množině:

(a)

$\langle1;7\rangle$

(b)

$(-\infty;1\rangle\cup\langle7;\infty)$

(c)

$\langle-7;-1\rangle$

(d)

$(-\infty;-7\rangle\cup\langle-1;\infty)$

(e) jiná odpověd

Řešení	Vybrat Ukázat
$8x-x^2-7\ge0\\ x^2-8x+7\le0\\ (x-1)(x-7)\le0\\ x\in\langle1;7\rangle$ Správná odpověď je (a).

8. Součet všech $x\in (0; 2\pi)$ , pro která platí $\sin x = -\frac12$ , je:

(a)

$3$

(b)

$\pi$

(c)

$2\pi$

(d)

$\frac\pi2$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\sin x=-\frac12\\ x_1=\frac{7\pi}6\qquad x_2=\frac{11\pi}6\\ x_1+x_2=\frac{7\pi}6+\frac{11\pi}6=3\pi$ Správná odpověď je (e).

9. Mezi kořeny kvadratické rovnice $x^2 + 10x + 16 =0$ vložte dvě čísla tak, aby spolu s těmito kořeny vznikly první čtyři členy aritmetické posloupnosti. Součet vložených čísel je

(a)

$12$

(b)

$-10$

(c)

$6$

$8$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
V aritmetické posloupnosti platí $a_1+a_4=a_1+a_1+3d=a_1+d+a_1+2d=a_2+a_3.$ Součet vložených čísel bude stejný jako součet kořenů rovnice. Podle Vietových vztahů je součet $x_1+x_2=-10.$ Správná odpověď je (b).

10. Rovnice tečny kružnice $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$ v bodě $\mathsf T [2; 3]$ je

(a)

$x+2y=8$

(b)

$2x+y=7$

(c)

$x-2y=-4$

$2x-y=1$

e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Kružnice $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ má v bodě dotyku $\mathsf T[x_0;y_0]$ tečnu $(x_0-m)(x-m)+(y_0-n)(y-n)=r^2.$ Rovnici kružnice nejprve převedeme do středového tvaru $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0\\ (x-1)^2+(y-1)^2=5,$ a pak dosadíme $(2-1)(x-1)+(3-1)(y-1)=5\\ x+2y-8=0$ Správná odpověď je (a).

11. Součet všech řešení goniometrické rovnice $2\cos^2x - 7 \cos x + 3 = 0$ v intervalu $(0; 2\pi)$ je

(a)

$\pi$

(b)

$2\pi$

(c)

$\frac\pi3$

(d)

$\frac{5\pi}3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Zavedeme substituci $a=\cos x$ , $-1\le a\le1$ . $2a^2-7a+3=0\\ D=7^2-4\cdot2\cdot3=5^2\\ a_1=\frac{7+5}4=3\ge1\\ a_2=\frac{7-5}4=\frac12$ Řešení $a_1$ nevyhovuje podmínce. Druhé řešení dává $\cos x=\frac12\\ x_1=\frac\pi3\qquad x_2=\frac{5\pi}3\\ x_1+x_2=2\pi$ Správná odpověď je (b).

12. Množina všech reálných čísel, pro která platí $|1 -2x| -|x+1| - 3 \le 0$ , je rovna množině:

(a)

$\langle5; \infty)$

(b)

$(-\infty; -1\rangle$

(c)

$(-\infty; -1\rangle\cup\langle5;\infty)$

(d)

$\langle-1;5\rangle$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Nulové body jsou $x=\frac12$ a $x=-1$ . Řešení provedeme ve třech intervalech: $x<-1$ $1-2x+x+1-3\le0\\ x\ge-1\\ \emptyset$ $-1\le x<\frac12$ $1-2x-x-1-3\le0\\ x\ge-1\\ x\in\langle-1;\frac12)$ $x\ge\frac12$ $2x-1-x-1-3\le0\\ x\le5\\ x\in\langle\frac12;5\rangle$ Sjednocením dílčích řešení dostaneme $x\in\langle-1;5\rangle$ Správná odpověď je (d).

13. Délky stran kvádru tvoří první tři členy aritmetické posloupnosti. Jejich součet je 24, objem kvádru je 312. Vypočtěte povrch kvádru.

(a) 433

(b) 343

(d) 234

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Prostřední stranu si označíme $b$ , potom nejkratší strana $a=b-d$ a nejdelší $c=b+d$ , kde $d>0$ je diference aritmetické posloupnosti. Z první podmínky $(b-d)+b+(b+d)=24\\ b=8$ Z druhé podmínky $V=abc\\312=(8-d)\cdot8\cdot(8+d)\\ 39=64-d^2\\ d^2=25\\ d=5$ Je proto $a=3$ a $c=13$ . Povrch vypočítáme podle vztahu $P=2(ab+bc+ac)\\ P=2(3\cdot8+8\cdot13+3\cdot13)=334$ Správná odpověď je (c).

Řešení

Ukázat

Prostřední stranu si označíme

$b$ , potom nejkratší strana

$a=b-d$ a nejdelší

$c=b+d$ , kde

$d>0$ je diference aritmetické posloupnosti. Z první podmínky

$(b-d)+b+(b+d)=24\\ b=8$

Z druhé podmínky

$V=abc\\312=(8-d)\cdot8\cdot(8+d)\\ 39=64-d^2\\ d^2=25\\ d=5$

Je proto

$a=3$ a

$c=13$ . Povrch vypočítáme podle vztahu

$P=2(ab+bc+ac)\\ P=2(3\cdot8+8\cdot13+3\cdot13)=334$

Správná odpověď je (c).

14. Pravdomluvný lord hrál od pondělí do středy každý večer karty o své hrady. Každý večer nejdříve vyhrál tři hrady a pak půlku svých hradů prohrál (hrady mu v tomto týdnu jiným způsobem nepřibývaly ani neubývaly). Po hře třetího večera řekl své manželce: “Mám tolik hradů, jako jsem měl v pondělí ráno.“

Vyberte pravdivé tvrzení:

(a) Po hře druhého večera měl lord dvakrát více hradů než v pondělí ráno.

(b) Po hře druhého večera měl lord o tři hrady méně než v pondělí ráno.

(d) Po hře druhého večera měl lord stejně hradů jako v pondělí ráno.

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Pokud si označíme počet hradů v pondělí ráno $a_0$ , můžeme počty hradů $n$ -tý den večer (pondělí je první den) vyjádřit vzahem $a_n=a_{n-1}+3-\frac{a_{n-1}+3}2=\frac{a_{n-1}+3}2$ Postupně vypočítámě první tři členy této posloupnosti $a_1=\frac{a_0+3}2\\ a_2=\frac{a_{1}+3}2=\frac{a_{0}+9}4\\ a_3=\frac{a_{2}+3}2=\frac{a_{0}+21}8$ Podle zadání je $a_0=\frac{a_{0}+21}8\\ a_0=3$ Jednotlivé členy jsou pak $a_1=3$ , $a_2=3$ a $a_3=3$ Pravdivé je tvrzení (d).

Řešení

Ukázat

Pokud si označíme počet hradů v pondělí ráno

$a_0$ , můžeme počty hradů

$n$ -tý den večer (pondělí je první den) vyjádřit vzahem

$a_n=a_{n-1}+3-\frac{a_{n-1}+3}2=\frac{a_{n-1}+3}2$

Postupně vypočítámě první tři členy této posloupnosti

$a_1=\frac{a_0+3}2\\ a_2=\frac{a_{1}+3}2=\frac{a_{0}+9}4\\ a_3=\frac{a_{2}+3}2=\frac{a_{0}+21}8$

Podle zadání je

$a_0=\frac{a_{0}+21}8\\ a_0=3$

Jednotlivé členy jsou pak

$a_1=3$ ,

$a_2=3$ a

$a_3=3$ Pravdivé je tvrzení (d).

15. Uvažujme exponenciální funkci $f(x)=\left(\dfrac{m-1}{2-m}\right)^x$ , kde $x$ je reálná proměnná a $m$ je reálný parametr. Množina všech hodnot reálného parametru $m$ , pro které je uvedená funkce rostoucí, je rovna množině:

(a)

$(-\frac32;2)$

(b)

$(\frac32;2)$

(c)

$(-2;-\frac32)$

(d)

$-2;\frac32)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Aby funkce byla rostoucí, musí platit $\dfrac{m-1}{2-m}>1$ Úpravami dostaneme $\dfrac{m-1}{2-m}-1>0\\ \dfrac{m-1-2+m}{2-m}>0\\ \dfrac{2m-3}{2-m}>0\\ m\in(\frac32;2)$ Správná odpověď je (b).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář