B1 | Studijní materiály

1. Číslo $\dfrac{\sqrt[3]{\sqrt[4]3}\cdot\sqrt[3]9}{\sqrt3\cdot \sqrt[4]3}$ je rovno číslu:

(a)

$\frac13$

(b)

$\sqrt3$

(c)

$\sqrt[3]3$

$\sqrt[4]3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{3^{\frac1{12}}\cdot3^{\frac23}}{3^{\frac12}\cdot3^{\frac14}}=3^{\frac1{12}+\frac23-\frac12-\frac14}=3^0=1$ Správná odpověď je (e).

2. Číslo $\displaystyle {23\choose14}-{23\choose9}$ je rovno číslu:

(a)

${14\choose9}$

(b)

$0$

(c)

${23\choose5}$

(d)

$1$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
${23\choose14}-{23\choose9}=\frac{23!}{14!\cdot9!}-\frac{23!}{9!\cdot14!}=0$ Správná odpověď je (b).

3. Číslo $\log_{\frac1{27}}3$ je rovno číslu:

(a)

$-\frac13$

(b)

$\frac13$

(c)

$3$

(d)

$-3$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{\frac1{27}}3=\frac{\log_33}{\log_3{\frac1{27}}}=\frac{1}{\log_3{3^{-3}}}=-\frac13$ Správná odpověď je (a).

4. Absolutní hodnota komplexního čísla $z=\dfrac{2-\text i}{3-4\text i}$ je rovna číslu:

(a)

$\frac15$

(b)

$\frac{\sqrt5}5$

(c)

$\frac{\sqrt{10}}{10}$

(d)

$\sqrt5$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left\|\dfrac{2-\text i}{3-4\text i}\right\|=\frac{\|2-\text i\|}{\|3-4\text i\|}=\frac{\sqrt{2^2+1^2}}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\sqrt5}5$ Správná odpověď je (b).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac32}x < 1$ , je rovna množině:

(a)

$(0;\frac23)$

(b)

$(\frac23;\infty)$

(c)

$(0;\frac32)$

(d)

$(\frac32;\infty)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Musí platit podmínka $x>0.$ Nerovnici upravíme $\log_{\frac32}x < 1\\ \log_{\frac32}x <\log_{\frac32}\frac32\\ x<\frac32$ Spolu s podmínkou $0<x<\frac32$ Správná odpověď je (c).

6. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\left(\dfrac34\right)^x <\dfrac43$ , je rovna množině:

(a)

$(-\infty;-1)$

(b)

$(1;\infty)$

(c)

$(-\infty;1)$

(d)

$(-1;0)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left(\dfrac34\right)^x <\dfrac43\\ \left(\dfrac43\right)^{-x} <\left(\dfrac43\right)^1\\ -x<1\\ x>-1$ Správná odpověď je (e).

7. Množina všech reálných čísel, pro která platí $x^2 - 8x < 0$ , je rovna množině:

(a)

$(-8;0)$

(b)

$(-\infty;8)$

(c)

$(0;8)$

(d)

$(-\infty;0)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$x^2-8x<0\\ x(x-8)<0\\ x\in(0;8)$ Správná odpověď je (c).

8. Počet všech $x\in(0;\pi)$ , pro která platí $\cos x= \dfrac76$ , je roven číslu:

(a) 2

(b) 3

(d) 1

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Jelikož kosínus je vždy menší nebo roven jedné, rovnice nemá řešení. Správná odpověď je (e).

9. V geometrické posloupnosti platí: $a_1= 64$ a $q =\frac12$ . Třetí člen $a_3$ této posloupnosti je roven číslu:

(a)

$16$

(b)

$8$

(c)

$4$

(d)

$2$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$a_3=a_1\cdot q^{2}=64\cdot\frac14=16$ Správná odpověď je (a).

10. Rovnice tečny kružnice $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 18 = 0$ v bodě $\mathsf T[3;5]$ je

(a)

$x+2y=13$

(b)

$2x+y=11$

(c)

$x-2y+7=0$

(d)

$2x-y=1$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Postup je podrobně popsaný v A1. Kružnice $(x-1)^2+(y-1)^2=20$ Tečna $(3-1)(x-1)+(5-1)(y-1)=20\\ x-1+2(y-1)=10\\ x+2y-13=0$ Správná odpověď je (a).

11. Počet všech $x\in (0; \pi)$ , pro která platí $\cos (2x) - 1 =\sin x$ , je roven číslu:

(a) 3

(b) 2

(d) 0

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\cos(2x)-1=\sin x\\ \cos^2x-\sin^2x-\sin^2x-\cos^2x=\sin x\\ 2\sin^2x+\sin x=0\\ \sin x(2\sin x+1)=0\\ \sin x=0\quad\vee\quad\sin x=-\frac12$ Protože $\sin x$ je v intervalu $x\in (0; \pi)$ vždy kladný, nemá ani jedna rovnice v daném intervalu řešení. Správná odpověď je (d).

12. Definiční obor funkce $f(x)=\sqrt{\dfrac{\log_3(5-x)}{-9x^2-3}}$ je roven množině:

(a)

$(4; 5)$

( b)

$(-4; 5)$

$\langle-4; 5)$

$\langle4; 5)$

e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Musí platit podmínka $5-x>0\\ x<5.$ Dále musí platit $\frac{\log_3(5-x)}{-9x^2-3}\ge0\\ \frac{\log_3(5-x)}{3x^2+1}\le0$ Protože jmenovatel je vždy kladný, musí být $\log_3(5-x)\le0\\ 5-x\le1\\ x\ge4$ Průnik obou podmínek dává $x\in\langle4;5)$ . Správná odpověď je (d).

13. Délky stran kvádru tvoří první tři členy aritmetické posloupnosti. Jejich součet je 15, objem kvádru je 80. Vypočtěte povrch kvádru.

(a)

$118$

(b)

$181$

(c)

$132$

(d)

$123$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Při stejném značení jako v příkladě je $(b-d)+b+(b+d)=15\\ b=5$ a $(5-d)\cdot5\cdot(5+d)=80\\ 25-d^2=16\\ d=3$ Takže $a=2$ , $b=5$ a $c=8$ . Povrch $P=2(2\cdot5+5\cdot8+2\cdot8)=132$ Správná odpověď je (c).

14. Kamarádi Bolek a Lolek mluví některé dny jenom pravdu a některé dny jenom lžou. Bolek mluví pravdu pouze o víkendech, Lolek mluví pravdu v pondělí, v pátek a v neděli, ostatní dny lže.
Jednoho dne řekl Bolek: "Včera jsme oba lhali."
Lolek ale nesouhlasil: "Aspoň jeden z nás včera mluvil pravdu.“
Který den v týdnu mohou vést takový rozhovor?

(a) sobota

(b) úterý

(d) pondělí

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Bolek nemůže říkat pravdu, protože by musela být sobota, nebo nedělě, ale v předchozí dny (pátek, či sobota) vždy někdo mluvil pravdu. Takže není víkend a Bolek lže. To však znamená, že předchozí den někdo mluvil pravdu. Tím vypadávají dny St, Čt i Pá. Zůstávají jako možnost Po a Út. Kdyby bylo úterý, Lolek by lhal, a tedy v pondělí by museli lhát oba. To ale podle zadání neplatí. Musí být pondělí. Správná odpověď je (d).

Řešení

Ukázat

15. Uvažujme trojúhelník v rovině o vrcholech $\mathsf A[3; -4]$ , $\mathsf B[2; -1]$ , $\mathsf C[-1;-2]$ . Obecnou rovnici přímky v níž leží těžnice $t_c$ , lze napsat ve tvaru:

(a)

$x-7y-13=0$

(b)

$x+7y+15=0$

(c)

$7x+y+9=0$

(d)

$7x-y+5=0$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Těžnice $t_c$ prochází vrcholem $\mathsf C$ a středem úsečky $\mathsf{AB}$ $\mathsf S$ . Střed je $\mathsf S=\left[\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2\right]\\ \mathsf S=\left[\frac52;-\frac52\right]$ Obecnou rovnici přímky určíme podle vztahu $\frac{x-x_1}{y-y_1}=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\\ \frac{x-\frac52}{y+\frac52}=\frac{-1-\frac52}{-2+\frac52}\\x-\frac52=-7\left(y+\frac52\right)\\ x+7y+15=0$ Správná odpověď je (b).

Řešení

Ukázat

Těžnice

$t_c$ prochází vrcholem

$\mathsf C$ a středem úsečky

$\mathsf{AB}$

$\mathsf S$ . Střed je

$\mathsf S=\left[\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2\right]\\ \mathsf S=\left[\frac52;-\frac52\right]$

Obecnou rovnici přímky určíme podle vztahu

$\frac{x-x_1}{y-y_1}=\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\\ \frac{x-\frac52}{y+\frac52}=\frac{-1-\frac52}{-2+\frac52}\\x-\frac52=-7\left(y+\frac52\right)\\ x+7y+15=0$

Správná odpověď je (b).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář