C1 | Studijní materiály

1. Jeden z kořenů kvadratické rovnice s reálnými koeﬁcienty je $x_1=3-6i$ . Určete tuto rovnici.

a) $x^2+45=0$	b) $-x^2-5x+45=0$	c) $-x^2+6x-45=0$
d) $x^2+4x+45=0$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Druhý kořen je $x_2=3+6i\quad$ . Rovnice pak bude mít tvar $(x-3+6i)(x-3-6i)=0$ $(x-3)^2-(6i)^2=0$ $x^2-6x+9+36=0$ $x^2-6x+45=0$ Správná odpověď je c).

2. Řešením nerovnice $-3x^2+2x+5>0$ je:

a) $x\in(-3;2)\cup(2;5)$	b) $x\in(-1;\frac53)$	c) $x\in (0;1)$
d) $x\in(-\infty;0)\cup(0;\infty)$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$-3x^2+2x+5>0$ $3x^2-2x-5<0$ $3x^2+3x-5x-5<0$ $3x(x+1)-5(x+1)<0$ $(3x-5)(x+1)<0$ $x\in(-1;\frac53)$ Správná odpověď je b).

3. Upravte výraz: $1-\dfrac {m} {1-\dfrac {m} {m+1}}$ , $m\ne-1$

$-m-m^2+1$

$m$

$m-1$

$-m^2+1$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$1-\dfrac {m} {1-\dfrac {m} {m+1}}=1-\dfrac{m}{\dfrac{m+1-m}{m+1}}=1-m(m+1)=-m^2-m+1$ Správná odpověď je a).

4. Určete všechna $x\in\mathbb R$ , pro která platí: $\log_2x=-3$

$x=9$

$x=-6$

$x=8$

$x=\dfrac18$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_2x=-3$ $x=2^{-3}=\dfrac18$ Správná odpověď je d).

5. Určete všechna řešení rovnice $\sin x = -\dfrac{\sqrt3}2$ na intervalu $\langle0,2\pi\rangle$

a) $x\in \left \{ \dfrac{4\pi}3;\dfrac{5\pi}3\right \}$	b) $x\in \left \{ \dfrac{\pi}3;\dfrac{2\pi}3\right \}$	c) $x\in \left \{ \dfrac{2\pi}3;\dfrac{4\pi}3\right \}$
d) nemá řešení		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Přímo z jednotkové kružnice $x_1=\dfrac{4\pi}3\quad$ a $x_2=\dfrac{5\pi}3$ . Správná odpověď je a).

6. V aritmetické posloupnosti je dáno $a_6 = 8$ , $d = -3$ . Určete $a_{12}$ .

$-6$

$6$

$-10$

$10$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
V aritmetické posloupnosti platí: $a_r=a_s+(r-s)d\quad$ . Takže $a_{12}=a_6+(12-6)d$ $a_{12}=8-6\cdot3=-10$ Správná odpověď je c).

7. Určete průsečík funkce $f (x) = 5^x - 125$ s osou $x$ :

$[1;0]$

$[2;0]$

$[3;0]$

$[4;0]$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Řešíme rovnici $5^x-125=0$ $5^x=125=5^3$ $x=3$ Správná odpověď je c).

8. Vektor kolmý k $\overrightarrow{AB}$ , kde $A = [1,0]$ , $B = [-3, 2]$ , je

$(1;2)$

$(2;1)$

$(-4;2)$

$(4;2)$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\overrightarrow{AB}=(-4;2)$ Jeden z kolmých vektorů je vektor $(2;4)\$ . Protože je $(2;4)=2(1;2)$ je správná odpověď a).

9. Variací bez opakování z 9 prvků 2. třídy je:

a) ) 36

b) 18

c) 9

d) 3

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$V_2(9)=9\cdot8=72\$ . Správná odpověď je e).

10. Najděte řešení rovnice: $|x-1|=2+2x$ pro $x\in\mathbb R$

$x=1$

$x=0$

$x=-\dfrac13$

$x=\dfrac13$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože levá strana rovnice je nazáporná, musí být i pravá strana rovnice nezáporná. Musí proto platit: $2+2x\ge0\ \Rightarrow\ x\ge-1$ . Obě strany rovnice umocníme: $(x-1)^2=(2+2x)^2$ $(x-1)^2-(2+2x)^2=0$ $(x-1-2-2x)(x-1+2+2x)=0$ $(-x-3)(3x+1)=0$ $x_1=-3\qquad$ nebo $x_2=-\dfrac13$ První kořen nevyhovuje počáteční podmínce. Správná odpověď je c).

11. Určete střed kuželosečky $x^2 -6x+y^2+8y=40$

$[3;-4]$

$[3;4]$

$[1;1]$

$[-1;1]$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$x^2 -6x+y^2+8y=40$ $x^2-6x+9+y^2+8y+16=40+9+16$ $(x-3)^2+(y+4)^2=65$ $S[3;-4]$ Správná odpověď je a).

12. Pro která $m \in\mathbb R$ je funkce $f(x)=\left( \dfrac {m+1} {m}\right) ^{x}$ klesající?

a) $x\in(-1;0)\cup(0;\infty)$	b) $x\in(-\infty;1)\cup(-1;0)$	c) $x\in(-\infty;0)$
d) $x\in(-\infty;-1)$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Exponenciální funkce je klesající, když je základ mezi nulou a jedničkou. $0<\dfrac{m+1}m<1$ I. $0<\dfrac{m+1}m$ $m\in(-\infty;-1)\cup(0;\infty)$ II. $\dfrac{m+1}m<1$ $\dfrac{m+1-m}m<0$ $\dfrac1m<0$ $m<0$ Průnik obou řešení je interval $m\in(-\infty;-1)$ Správná odpověď je d).

13. Určete počet řešení rovnice $\cos x = \sin 2x \cos x$ , $x\in\mathbb R$ , na intervalu $\langle0;2\pi\rangle$

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\cos x=\sin2x\cdot\cos x$ $\cos x(1-\sin2x)=0$ I. $\cos x=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac\pi2+k\pi$ Řešení leží v daném intervalu pro $k=0\quad$ nebo $k=1$ . II. $\sin2x=1$ $2x=\dfrac\pi2+2k\pi\ \Rightarrow\ x=\dfrac\pi4+k\pi$ Řešení leží v daném intervalu pro $k=0\quad$ nebo $k=1$ . Celkem jsou tedy řešení 4. Správná odpověď je c).

14. Všechna řešení rovnice $\left( 1-\dfrac {7} {9}\right) ^{\frac {1} {3-x}}=\left( \dfrac {9} {2}\right) ^{\frac {2} {x-4}}$ leží na intervalu:

$x\in(0;\infty)$

$x\in(-\infty;0)$

$x\in\langle0;1)$

$x\in(-1;0\rangle$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left( 1-\dfrac {7} {9}\right) ^{\frac {1} {3-x}}=\left( \dfrac {9} {2}\right) ^{\frac {2} {x-4}}$ $\left( \dfrac {2} {9}\right) ^{\frac {1} {3-x}}=\left( \dfrac {9} {2}\right) ^{\frac {2} {x-4}}$ $\left( \dfrac {9} {2}\right) ^{\frac {1} {x-3}}=\left( \dfrac {9} {2}\right) ^{\frac {2} {x-4}}$ $\dfrac1{x-3}=\dfrac2{x-4}$ $x-4=2x-6$ $x=2$ Správná odpověď je a).