E1 | Studijní materiály

1. Podíl $\dfrac {\sqrt {2}\cdot\sqrt[3] {3}} {\sqrt[3] {2}\cdot \sqrt {3}}$ je roven číslu:

$\dfrac32$

$\dfrac23$

$\left(\dfrac32\right)^{\frac16}$

$\left(\dfrac32\right)^{-\frac16}$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac {\sqrt {2}\cdot\sqrt[3] {3}} {\sqrt[3] {2}\cdot \sqrt {3}}=\dfrac{2^{\frac12}\cdot3^{\frac13}}{2^{\frac13}\cdot3^{\frac12}}=\dfrac{3^{\frac13-\frac12}}{2^{\frac13-\frac12}}=\left(\dfrac32\right)^{-\frac16}$ Správná odpověď je (d)

2. Určete číslo $A \in\mathbb R$ , které splňuje rovnost $\log A=\dfrac {\log 125} {\log5}$ je:

a) 25

b) 250

c) 1000

d) 3

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log A=\dfrac {\log 125} {\log5}=3\ \Rightarrow\ A=10^3=1000$ Správná odpověď je (c)

3. Určete všechna $x\in\mathbb R$ , která splňují rovnici $\sin x=3+\cos x$ na intervalu $\langle0;\pi\rangle$ .

$x=\dfrac\pi2$

$x=\pi$

$x=\dfrac\pi3$

$x=\dfrac\pi6$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože na levé straně je $-1\le\sin x\le1$ a na pravé $2\le3+\cos x\le4$ , rovnice nemůže mít řešení. Správná odpověď je (e).

4. Maximální deﬁniční obor funkce $f (x) = 7^{\sqrt{|x|-1}}$ tvoří $x\in\mathbb R$ , pro která platí:

a) $x\in\mathbb R$	b) $x=0$	c) $x\in\langle-1;1\rangle$
d) $x\in(-\infty;1)\cup(1;\infty)$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Musí platit $\|x\|-1\ge0\\ \|x\|\ge1\\ x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle1;\infty)$ Správná odpověď je (e)

5. Napište obecnou rovnici přímky $p$ , která je dána svým parametrickým vyjádřením: $\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\end{cases}$

$x+y-2=0$

$x-y-3=0$

$x+y+2=0$

$y-x+3=0$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Sečtením rovnic dostaneme $x+y-2=0$ . Správná odpověď je (a).

6. $\displaystyle {19\choose17}$ je rovno číslu:

a) 150

b) 151

c) 171

d) 131

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
${19\choose17}=\dfrac{19!}{17!\cdot2!}=\dfrac{19\cdot18\cdot17!}{17!\cdot2}=19\cdot9=171$ Správná odpověď je (c).

7. Absolutní hodnota komplexního čísla $z = -1 - 4\text i$ je rovna číslu:

$5$

$\sqrt{17}$

$3\sqrt3$

$\sqrt5$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\|z\|=\sqrt{(-1)^2+(-4)^2}=\sqrt{17}$ Správná odpověď je (b).

8. První a druhý člen geometrické posloupnosti jsou: $a_1 = \sqrt x$ , $a_2 = x$ . Určete třetí člen této posloupnosti:

$a_3=\sqrt{x^3}$

$a_3=x^2$

$a_3=1$

$a_3=\sqrt[4]{x}$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
V geometrické posloupnosti platí $\frac{a_2}{a_1}=q\\ q=\frac x{\sqrt x}=\sqrt x$ Dále je $a_3=a_2\cdot q=x\cdot\sqrt x=\sqrt{x^3}$ Správná odpověď je (a).

9. Nalezněte $x\in\mathbb R$ , které splňuje rovnici $\left[ \left( \dfrac {1} {3}\right) ^{x}\right] ^{x}=1$

$x=1$

$x=0$

$=-1$

$x=3$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left[ \left( \dfrac {1} {3}\right) ^{x}\right] ^{x}=1\\ \left(\dfrac13\right)^{x^2}=\left(\dfrac13\right)^0\\ x=0$ Správná odpověď je (b).

10. Množina všech $x\in\mathbb R$ , která splňují rovnici: $||x|| = 3$ je:

$\{3\}$

$\{0\}$

$\{-3\}$

$\{1\}$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\|\|x\|\|=3\\\|x\|=3\\x=\pm3$ Správná odpověď je (e).

11. Určete součet prvních pěti členů aritmetické posloupnosti, kde první člen $a_1 = 4$ a diference $d = 3$

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$S_n=\frac n2(a_1+a_n)\\S_5=\frac n2(a_1+a_1+4d)\\S_5=\frac52(4+4+4\cdot3)=50\$ Správná odpověď je (d).

12. Najděte průsečík přímek $p$ , $q$ , které jsou zadány rovnicemi: $p:x-2y+3=0$ , $q:3x+y-2=0$

$[1;3]$

$[1;11]$

$\left[\dfrac17;\dfrac{11}7\right]$

$\left[\dfrac37;\dfrac{5}7\right]$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\begin{cases}x-2y+3=0\\3x+y-2=0\end{cases}\ \Rightarrow \ \begin{cases}x-2y+3=0\\6x+2y-4=0\end{cases}\ \Rightarrow 7x=1\ \Rightarrow\ x=\frac17$ Dosazením do 2. rovnice $y=2-3x\ \Rightarrow\ y=2-\frac37=\frac{11}7$ Správná odpověď je (c).

13. Určete všechna $x\in\mathbb R$ , která splňují nerovnici $\log_2(x^2 - 5x + 6) > 1$ :

a) $x\in(-\infty;1)\cup(4;\infty)$	b) $x\in(2;3)$	c) $(1;4)$
d) $x\in(-\infty;2)\cup(3;\infty)$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
Aby nerovnice měla smysl, musí platit $x^2-5x+6>0$ . Za této podmínky můžeme nerovnici upravit $\log_2(x^2 - 5x + 6) > 1\\ \log_2(x^2 - 5x + 6) > \log_22^1\\ x^2-5x+6>2$ Když platí poslední nerovnice, je podmínka automaticky splněna a můžeme nerovnici vyřešit. $x^2-5x+4>0\\ (x-4)(x-1)>0\\ x\in(-\infty;1)\cup(4;\infty)$ Správná odpověď je (a).

14. Poloměr podstavy válce je $r$ , výška válce je dvojnásobek poloměru podstavy. Objem válce je:

$V=4\pi r^2$

$V=2\pi r$

$2\pi r^3$

$4\pi r^3$

e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$V=\pi r^2h=\pi r^2(2r)=2\pi r^3$ Správná odpověď je (c).

15. Určete množinu všech $x\in\mathbb R$ , která splňují nerovnici: $\left( \dfrac {1} {9}\right) ^{x^{2}-3}\leq \left( \dfrac {1} {27}\right) ^{x+1}$

a) $x\in(-\infty;-\frac32)\cup(3;\infty)$	b) $x\in\langle-\sqrt3;\sqrt3\rangle$	c) $x\in(-\infty;-\sqrt3\rangle\cup\langle\sqrt3;\infty)$
d) $\langle-\frac32;3\rangle$		e) jinak

Řešení	Vybrat Ukázat
$\left( \dfrac {1} {9}\right) ^{x^{2}-3}\leq \left( \dfrac {1} {27}\right) ^{x+1}\\ 3^{2(3-x^2)}\le3^{-3(x+1)}\\ 6-2x^2\le-3x-x\\ 2x^2-3x-9\ge0\\ (2x+3)(x-3)\ge0\\ \textstyle x\in(-\infty;-\frac32\rangle\cup\langle3;\infty)$ Správná odpověď je (e).

Napsat komentář Zrušit odpověď na komentář