B0 | Studijní materiály

1. Číslo $\dfrac{\sqrt[4]7}{\sqrt[3]{\sqrt[4]7}\cdot\sqrt[6]7 }$ je rovno číslu:

(a)

$\sqrt7$

(b)

$1$

(c)

$\sqrt[4]7$

(d)

$\sqrt[3]7$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\dfrac{\sqrt[4]7}{\sqrt[3]{\sqrt[4]7}\cdot\sqrt[6]7 }=7^{\frac14-\frac1{12}-\frac16}=7^0=1.$ Správná odpověď je (b).

2. V běhu na 100 metrů startovalo pět atletů, všichni doběhli do cíle. Kolik je možných pořadí v cíl?

(a) 24

(b) 50

(d) 125

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Jedná se o permutace pěti prvků. $5!=120.$ Správná odpověď je (e).

3. Číslo $\log_{\frac13}81$ je rovno číslu:

(a)

$-\frac14$

(b)

$-3$

(c)

$4$

(d)

$\frac14$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$\log_{\frac13}81=\dfrac{\log_33^4}{\log_33^{-1}}=-4.$ Správná odpověď je (e).

4. Kvadratická rovnice $x^2 + px + q = 0$ , $p,\,q\in\mathbb R$ , má jeden kořen $x_1 = 4 + i.$ Součet $p + q$ je

(a) 7

(b) 8

(d) 17

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Protože má rovnice reálné koeficienty, je druhý kořen $x_2=4-i.$ Podle Vietových vzorců je $q=x_1\cdot x_2=(4+i)(4-i)=16+1=17\\ p=-(x_1+x_2)=-(4-i+4+i)=-8\\ p+q=9$ Správná odpověď je (e).

5. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\log_{\frac12}x > 0,$ je rovna množině:

(a)

$(0;2)$

(b)

$(0;1)$

(c)

$(1;\infty)$

(d)

$(\frac12;\infty)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Musí platit podmínka $x>0$ Pak $\log_{\frac12}x > 0\\ \log_{\frac12}x>\log_{\frac12}1\\x<1\\x\in(0;1)$ Správná odpověď je (b).

6. Množina všech reálných čísel, pro která platí $\left(\dfrac34\right)^x<-\dfrac43,$ je rovna množině:

(a)

$(-\infty;-\frac12)$

(b)

$(-\infty;1)$

(c)

$(-\frac12;\infty)$

(d)

$(-\infty;\infty)$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Výraz $\left(\dfrac34\right)^x$ je vždy kladný. Nerovnice nemá řešení. Správná odpověď je (e).

7. Deﬁniční obor funkce $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ je roven množině:

(a)

$\langle-3;0)\cup(0;3\rangle$

(b)

$(-\infty;3\rangle$

(c)

$\langle-3;3\rangle$

(d)

$(-3;3\rangle$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Musí platit $9-x^2\ge0\\ (3-x)(3+x)\ge0\\x\in\langle-3;3\rangle$ Správná odpověď je (c).

8. Počet všech $x\in (\frac\pi2;\frac{3\pi}2),$ pro která platí $\sin x = \frac25,$ je roven číslu:

(a) 0

(b) 1

(d) 3

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Číslo $\frac25$ je v oboru hodnot funkce sinus. Tato funkce nabývá ve druhém a třetím kvadrantu konkrétní kladnou hodnotu nejvýše jednou. Správná odpověď je (b).

9. Mezi kořeny kvadratické rovnice $x^2 + 8x + 7 = 0$ vložte dvě čísla tak, aby spolu s těmito kořeny vznikly první čtyři členy aritmetické posloupnosti. Součet vložených čísel je

(a)

$-8$

(b)

$9$

(c)

$5$

(d)

$4$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
V aritmetické posloupnosti platí $a_1+a_4=a_1+a_1+3d=a_1+d+a_1+2d=a_2+a_3.$ Součet vložených čísel bude stejný jako součet kořenů rovnice. Podle Vietových vztahů je součet $x_1+x_2=-8.$ Správná odpověď je (a).

10. Obecnou rovnıcı přímky, která prochází bodem $\mathsf A = [2, -1]$ a je kolmá na přímku $p :\begin{cases}x=2+2t\\y= 2- t\end{cases}$ kde $t\in\mathbb R$ , lze napsat ve tvaru:

(a) $x+2y=0$	(b) $2x+y-3=0$	(c) $x-2y-4=0$
(d) $2x-y-5=0$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Směrový vektor přímky $p$ je $\vec s_p=(2;-1)$ a ten je totožný s normálovým vektorem hledané přímky. Přímku s normálovým vektorem $\vec n=(a;b)$ procházející bodem $\mathsf A[x_0;y_0]$ můžeme zapsat ve tvaru $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.$ Takže $2(x-2)-(y+1)=0\\ 2x-y-5=0$ Správná odpověď je (d).

11. Součet všech řešení goniometrické rovnice $2\cos x+\sin2x=0$ v intervalu $(0, 2\pi)$ je

(a)

$2\pi$

(b)

$\frac\pi2$

(c)

$\frac{3\pi}2$

(d)

$\pi$

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$2\cos x+\sin2x=0\\2\cos x+2\sin x\cos x=0\\2\cos x(1+\sin x)=0\\ \cos x=0\quad\vee\quad\sin x=-1\\ x_1=\dfrac\pi2\quad\vee\quad x_2=\dfrac{3\pi}2\\x_1+x_2=2\pi$ Správná odpověď je (a).

12. Množinu všech reálných čísel, pro která platí $1 <\log_6 |x| < 2,$ je rovna množině:

(a) $( 36;0)\cup(0;36)$	(b) $(6;36)$	(c) $(-36;-6)\cup(6;36)$
(d) $(0;36)$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Pro $x\ne0$ $1<\log_6\|x\|<2\\\log_66<\log_6\|x\|<\log_636\\6<\|x\|<36\\x\in(-36;-6)\cup(6;36)$ Správná odpověď je (c).

13. Zvětší-li se počet prvků o jeden, zvětší se počet variací třetí třídy z nich vytvořených bez opakování o 126. Určete počet prvků.

(a) 9

(b) 8

(d) 6

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
$V_3(n+1)=V_3(n)+126\\ (n+1)n(n-1)=n(n-1)(n-2)+126\\n(n-1)(n+1-n+2)=126\\n(n-1)=42\\7\cdot6=42\\n=7$ Správná odpověď je (c).

14. Krakonoš rozdával léčivou vodu. Dvě třetiny léčivé vody dostal doktor Budelíp z Podkrkonoıší a 70% zbytku doktor Nebolí z Jizerských hor. Krakonošovi tak zůstalo šest odměrek. Vyberte pravdivé tvrzení:

(a) Doktor Budelíp dostal o 30 odměrek více než doktor Nebolí.

(b) Doktor Budelíp dostal 6 krát více léčivé vody, než zůstalo Krakonošovi.

(d) Původně měl Krakonoš více než 65 odměrek léčivé vody.

(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Když počet odměrek označíme $x$ dostaneme rovnici: $\frac23x+\frac7{10}\cdot\frac13x+6=x\\x=60$ Budelíp dostal 40 odměrek, Nebolí 14. Správná odpověď je (c).

15. Uvažujme trojúhelník v rovině o vrcholech $\mathsf A = [3, -4],$ $\mathsf B = [2, -1],$ $\mathsf C = [-1, -2].$ Obecnou rovnici přímky, v níž leží těžnice $t_c,$ lze napsat ve tvaru:

(a) $x-7y-13=0$	(b) $x+7y+15=0$	(c) $7x+y+9=0$
(d) $7x-y+5=0$	(e) jiná odpověď

Řešení	Vybrat Ukázat
Těžnice $t_c$ prochází vrcholem $\mathsf C$ a středem úsečky $\mathsf{AB}$ $\mathsf S.$ Souřadnice bodu $\mathsf S$ jsou $\mathsf S=\left[\frac{3+2}2;\frac{-4-1}2\right]=\left[\frac52;-\frac52\right]$ Směrový vektor těžnice je $\vec s=\left(-1-\frac52;-2+\frac52\right)=\left(-\frac72;\frac12\right)$ takže normálový vektor je $\vec n=(1;7)$ Rovnice těžnice je pak (viz příklad 10) $(x+1)+7(y+2)=0\\x+7y+15=0$ Správná odpověď je (b).

Řešení

Ukázat

Těžnice